[Arithmétique] La divisibilité

[Patrick]

Bonsoir,

Deux petits exercices autour du thème de la divisibilité.

1.) Trouvez tous les couples d’entiers naturels \((x;y)\) tels que : \(x^2-2xy =21\).
2.) Trouvez tous les entiers relatifs \(n\) tels que \(n-1\) divise \(n+7\).
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1.) On a : \(x^2-2xy=21\ \Longleftrightarrow\ x(x-2y)=21.\)
Ce qui signifie que les nombres \(x\) et \(x-2y\) sont des diviseurs de \(21\).
On en déduit que \(x\in\big\{1,\,3,\,7,\,21\big\}\).
\(\quad x^2-2xy=21\ \Longleftrightarrow\ y=\dfrac{x^2-21}{2x}\)
Ensuite, il faut "tester" chacune des 4 valeurs candidates pour \(x\) :
\(\quad x=1\,\Longrightarrow\,y=-10\notin\mathbb{N},\)
\(\quad x=3\,\Longrightarrow\,y=-6\notin\mathbb{N},\)
\(\quad x=7\,\Longrightarrow\,y=14\in\mathbb{N},\)
\(\quad x=21\,\Longrightarrow\,y=210\in\mathbb{N}.\)
Conclusion, seuls les couples :
\(\quad(x;y)=(7;\,14)\) et \((x;y)=(21;\,210)\) sont à retenir.
Remarque : \(x^2\,\gt\,21\), on aurait pu choisir les deux valeurs :
\(\quad x=7\) et \(x=21\) directement.

2.) On cherche \(n\in\mathbb{Z}\), tel que :
\(n+7=k(n-1)\ \Longleftrightarrow\ (n-1)+8=k(n-1)\ \Longleftrightarrow\ (n-1)(k-1)=8.\)
Pour que \(n-1|8,\ n-1\in\{-8,\,-4,\,-2,\,-1,\,1,\,2,\,4,\,8\},\)
Donc, en conclusion : \(n\in\{-7,\,-3,\,-1,\,0,\,2,\,3,\,5,\,9\}.\)

Merci pour vos remarques,
@+

[sos-math(21)]

Bonjour,
Cela m'a l'air correct à première vue. Ce sont des exercices de terminale ?
Bonne journée.

[Patrick]

Cela m'a l'air correct à première vue. Ce sont des exercices de terminale ?

Oui mais, pas très récente, des années 2000...
Merci pour la vérification.