SOS-MATH

bonjour, le prof nous a posé un problème et nous a dit qu'on recevrai un 20 si on réussissait à le résoudre.

On a un nombre x de personnes réunies sur un cercle où la distance sur le cercle séparant 2 individues est égale. 1)Combien de cordes peut-on tendre entre chaque personnes de façon à ce que chaque personne soit relié par une corde à toutes les autres personnes 2) Combien y a t - il de croisements de cordes ?

j'ai commencé par représenter la situation par un schéma, j'ai donc modélisé la situation pour un nombre restreint d'individu en représentant des polygones réguliers et des sements reliant chaque sommets à tous les autres sommets et je me suis demandé s'il existait une formule pour calculer çà car vraiment je trouve que c'est difficile et si possible avec la démonstration sinonje continuerai à cherher mais je crois que le prof ne sait pas non plus résoudre ce problème sinon il ne nous aurait pas donné un 20 à la clée.

Merci d'avance

Bonjour,

Si, votre prof sait résoudre ce problème.

fais une figure avec 2 personnes, note le nombre de cordes
puis avec 3 personnes, regarde le nombre de cordes
puis avec 4 personnes, regarde le nombre de cordes
puis avec 5................................................

essaye de deviner une formule en fonction de x, puis essaye de montrer cette formule par récurrence.

pose toi aussi la question : Que se passe t-il lorsque je rajoute une personne, ça rajoute combien de cordes?

sosmaths

Oui et ça donne
soit n le nombre de personnes
n appartien à N
le nombre de cordes est égale à (n²-n)/2
ou la somme de =1 à n de (n-1)
ou mais après ?

Ok, on dirait que cette formule est juste.

Il s'agit de la démontrer, et je conseille un raisonnement par récurrence.
Pour l'hérédité il faudra se poser la question qui est à la fin de mon message précédent.

sosmaths

Ok donc soit la suite Un qui a n associe (n²-n)/2 avec n appartient à N et Un est égale au nombre de cordes

Initialisation :

on veut démontrer que la prop est vraie au premier rang
(0²-0)/2 = 0 = U0
donc la propriété est vraie au rang n=0 , premier rang

Hérédité : Onsuppose que la prop est vraie pour un certain rang k tel que Uk= (k²-k)/2 . On veut démonstrer que la prop est vraie au rang k+1 tel que
U(k+1) = [(k+1)²-(k+1)]/2

Donc lorsque l'on ajoute une personne on augment le nombre de corde du nombre de personnes qu'il y avait avant que je rajoute une personne
donc U(k+1) = Uk + k = (k²-k)/2 + k = (k²+k)/2 or (k²+k)/2 = (k²+2k+1-k-1)/2 = [(k+1)²-(k+1)]/2
donc la prop est vraie au rang k+1

Conclusion : Pour tout n appartient à N Uk = (k²-k)/2

Voilà j'ai démontré la propriété etdonc j'ai fini la question 1) mais après pour la question 2) çà a l'air beaucoup plus compliqué

Très bien, sauf que pour l'initialisation, je te suggère de commencer à n=2.

Pour la suite , je te conseille d'utiliser la même méthode de recherche que pour la première question.

sosmaths

ah oui et donc mon hérédité est juste ?
et pour l'initialisation on comence à n =2 sinon on aurait des nombre de cordes négatifs ce qui n'est pas vraiment juste techniquement.

Ok parfait, merci pour vos conseils, j'ai réussi à terminer le reste en trouvant 2 formule selon un facteur bien particulier et ensuite il m'a suffit de faire 2 démonstrations par récurrence et hop c'est terminé , merci beaucoup !!!

Et pour démontrer qu'il fallait faire 2 cas j'ai fait une disjonction des cas avec des propriétés de symétrie normalement ça devrait être bon, c nikel au revoir et bonne journée

A bientôt sur SOS-math, Arthur.