SOS-MATH

Bonsoir

Soit f une fonction. En 1, f admet -oo pour limite à gauche et +oo pour limite à droite, ces deux limites étant distinctes, est-ce qu'on peut tout de même affirmer que f admet une limite en 1 ?

Merci à vous

La réponse est non.
Pour que f admette pour limite L (finie ou non) en a, il faut que les limites à gauche et à droite soient égales.
La question ne se pose évidemment que si f est bien définie à gauche et à droite en a.

De même, si f n'admet pas de limite à gauche en a et admet une limite L à droite en a, alors on ne parle pas de la limite de f en a, qui n'existe pas. On distingue les deux cas.

Un exemple de fonction qui n'admet pas de limite à gauche en 0, mais une limite à droite en 0 : f(x)=sin(1/exp(1/x))

Mais la droite d'équation x=1 est bien une asymptote à f, ceci n'a rien à avoir avec le fait que f n'admet pas de limite en 1 ?

Bonjour,
La courbe d'une fonction admet une asymptote verticale en 1 signifie que \(\lim_{x\to1, x<1}f(x)=\pm\infty\) ou \(\lim_{x\to1, x>1}f(x)=\pm\infty\), les deux cas pouvant se produire en même temps. Pour la définition, il faut au moins une limite infinie d'un côté. Ce qui implique en général qu'il n'y a pas de limite en 1, puisque la limite à gauche et la limite à droite ne sont pas toujours égales (condition donnée par sos-math(13)).
Est-ce plus clair ?

Quel est le théorème du cours qui dit ça ?

Donc si j'ai bien compris

la fonction f(x)=x²-1/x² admet une limite en 0 car les limites à droite et à gauche sont égales???

la fonction f(x)=1/x n'admet pas de limite en 0 car les limites sont différentes ????

Bonsoir,
Oui, c'est cela.
Bon courage