SOS-MATH

Bonsoir, j'ai un D.M à faire pour la rentrer qui est concentrer sur 6 exercices et dont un me pose vraiment problème, voici l’énoncer :

F est la fonction définie par : f(x) = racine de (x+1)^3/1-x (toute la division est sous la racine)

1. Quel est son ensemble de définition ?
2. Calculez f'(x) pour tout x dans ]-1,1[
3. Etudiez les variations de f et les limites de f en -1 et 1.
4. Représentez graphiquement f dans un repère orthonormal (unité graphique : 5cm)

Pour l'instant j'ai fait la question 1 en disant que f(x) etant de la forme racine de u, u devait etre supérieur ou égal à 0.
Du coup j'ai poser (x+1)^3 > 0 pour x > -1 et 1-x > 0 pour x < 1 donc on trouve comme ensemble de définition ]-1;1[.

Pour la deuxième question ensuite, j'ai donc encore remarquer que la fonction etait de la forme de racine de u, du coup sa dériver sera de la forme u'/2 racine de u.
J'ai donc commencer à calculer u', qui est de la forme u'v-uv'/v² car u' est de la forme u/v.
On a donc :
u = (x+1)^3
u' = 3(1)(x+1)²
v= 1-x
v'= -1

Voici mon calcul :

u'=3(x+1)² X (1-x) - (x+1)^3(-1) / (1-x)²
=(3x²+6x+3)(1-x)+(x+1)^3 / (1-x)²
=3x²+6x+3+(-3x^3)-6x²-3x+(x+1)²(x+1) / (1-x)²
=-3x²+3x-(3x^3)+3+(x²+2x+1)(x+1)²
=-3x²+3x-(3x^3)+3+(x^3)+2x²+x+x²+2x+1 / (x+1)²
=(-2x^3)+6x+4 / (1-x)2

On remplace u' dans u'/2 racine de u qui donne :

f'(x) = (-2x^3)+6x+4 / (1-x)² / 2 racine de (x+1)^3/1-x ( (x+1)^3 / 1-x est entièrement sous la racine)
f'(x) = (-2x^3)+6x+4 / (1-x)² X 1 / 2 racine de (x+1)^3/1-x ( (x+1)^3 / 1-x est entièrement sous la racine)

Et à partir de la je bloque, je ne sait pas si il faut continuer a developper ou laisser f'(x) ainsi.
S'il faut la laisser ainsi je ne vois pas comment étudiez les variations de f car je ne pense pas avoir la bonne méthode pour trouver f'(x) = 0 pour pouvoir étudiez son signe, j'ai d'abord penser à trouver
(-2x^3)+6x+4 / (1-x)² = 0, on trouve comme valeur interdite 1, mais je ne sais pas comment trouver (-2x^3)+6x+4=0, enfin j'avais déjà penser à factoriser comme celà :
x(-2x²+6)+4 mais delta est inutilisable vue qu'il faudrait que x(-2x²+6) = -4

Merci d'avance pour votre aide.

Bonsoir,

Je recopie ton texte et donne quelques remarques en rouge.

Pour l'instant j'ai fait la question 1 en disant que f(x) etant de la forme racine de u, u devait etre supérieur ou égal à 0.
Du coup j'ai poser (x+1)^3 > 0 pour x > -1 et 1-x > 0 pour x < 1 donc on trouve comme ensemble de définition ]-1;1[.

(x+1)^3 est du signe de (x+1). Par conséquent u(x) est du signe du quotient (x+1)/(1-x). Fais un tableau de signes afin d'étoffer ta rédaction.

Pour la deuxième question ensuite, j'ai donc encore remarquer que la fonction etait de la forme de racine de u, du coup sa dériver sera de la forme u'/2 racine de u.
J'ai donc commencer à calculer u', qui est de la forme u'v-uv'/v² car u' est de la forme u/v.
On a donc :
u = (x+1)^3
u' = 3(1)(x+1)² Exact.
v= 1-x
v'= -1 Exact.

Voici mon calcul :

u'=3(x+1)² X (1-x) - (x+1)^3(-1) / (1-x)² N'oublie pas les crochets au numérateur puisque la division par (1-x)² porte sur tout le numérateur.
=(3x²+6x+3)(1-x)+(x+1)^3 / (1-x)²
=3x²+6x+3+(-3x^3)-6x²-3x+(x+1)²(x+1) / (1-x)² C'est maladroit de développer ici. Factorise au contraire par (x+1)².
=-3x²+3x-(3x^3)+3+(x²+2x+1)(x+1)²
=-3x²+3x-(3x^3)+3+(x^3)+2x²+x+x²+2x+1 / (x+1)²
=(-2x^3)+6x+4 / (1-x)2 Résultat exact, mais à donner de préférence sous forme factorisée.

Un logiciel de calcul formel donne comme résultat : \(\frac{2}{\left( x-1\right) ^{2}}\left( x+1\right) ^{2}\left( 2-x\right)\) .

Pour la suite du calcul, remplacer par la forme factorisée de u'.


On remplace u' dans u'/2 racine de u qui donne :

f'(x) = (-2x^3)+6x+4 / (1-x)² / 2 racine de (x+1)^3/1-x ( (x+1)^3 / 1-x est entièrement sous la racine)

Bonne continuation.

Merci beaucoup j'ai réussi a finir l'exercice sans aucune difficulté grâce à la factorisation.
Bonne soirée.

Merci à toi également.
Je clôture le sujet, bonne continuation et à bientôt sur SoS-Math.