SOS-MATH

Bonjour,
j'ai un DM à faire pour la rentrée mais je bloque sur deux questions :

- On me demande de prouver par récurrence double la formule de binet mais je bloque à partir de cette étape dans l'hérédité 1/sqrt(5)(fi^n-psi^n+p^n-1-psi^n-1) avec fi= (1+sqrt(5))/2 et psi=(1-sqrt(5))/2.

- De plus on me demande de justifier que pour tout n, la formule de Binet est un nombre entier. Je l'ai justifié du fait que la suite de fibonacci est une somme d'entiers donc un nombre entier mais je pense que nous ne pouvons pas faire de rapprochement entre suite de Fibonaccci et formule de Binet pour cette question.

Merci d'avance,
Lucas

Bonjour,
on rappelle quelques propriétés :
le nombre d'or \(\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}\) et le nombre \(\psi=\frac{1-\sqrt{5}}{2}=-\frac{1}{\Phi}\) sont les solutions de l'équation \(x^2-x-1=0\) donc ils vérifient :
- \(\phi^2-\phi-1=0\), ce qu'on peut écrire \(\phi^2=\phi+1\)
- \(\psi^2-\psi-1=0\), ce qu'on peut écrire \(\psi^2=\psi+1\)
On aura besoin de ces relations par la suite.
La formule de Binet dit que la suite de Fibonacci \((F_n)\) définie par \(F_0=0,\, F_1=1,\, F_{n+2}=F_{n+1}+F_n\) peut s'écrire à l'aide des puissances de ces deux nombres :
\(F_n=\frac{1}{sqrt{5}}\left(\phi^n-\psi^n\right)\)
Cela se montre par récurrence sur deux niveaux :
Pour l'hérédité tu te places à un rang \(n\) quelconque et tu supposes que la formule est vraie pour le rang \(n\) et le rang \(n+1\) et tu veux le montrer pour le rang \(n+2\)
Il faut partir de la relation de récurrence qui définit la suite de Fibonacci \(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n=\frac{1}{sqrt{5}}\left(\phi^{n+1}-\psi^{n+1}\right)+\frac{1}{sqrt{5}}\left(\phi^n-\psi^n\right)\) puis regrouper et factoriser :
\(F_{n+2}=F_{n+1}+F_n=\frac{1}{sqrt{5}}\left(\phi^{n+1}-\phi^{n}-\psi^{n+1}-\psi^n\right)=\frac{1}{sqrt{5}}\left(\phi^{n}(\phi+1)-\psi^{n+1}(\psi+1)\right)\)
Et c'est là que tu utilises ce qu'on a vu plus haut : \(\phi+1=\phi^2\) et \(\psi+1=\psi^2\)
Il te reste à remplacer et à conclure.
Pour justifier le fait que la formule de Binet est un nombre entier, il faut reprendre sa construction : comment a-t-elle été introduite dans ton exercice ? C'est cela qui va te faire trouver (à mon avis, il faut bien entendu utiliser le fait qu'elle donne les nombres de Fibonacci qui sont des nombres entiers.
Bon courage
Bon courage

Merci beaucoup

Bon courage pour la suite.