SOS-MATH

Bonjour, j'ai l'énoncé suivant:
Entre 2001 et 2010, la part des sapins Nordmann dans l'achat de sapins de noël n'a cessé d'augmenter. Chez un grand pépiniériste du Morvan, la part était de 31% en 2001, de 55% en 2004, pour atteindre 63% en 2009. On modélise une fonction donnée par: f(x)= a+k/(x+b)
où x est le rang de l'année par rapport à 2000.
A l'aide d'un système, déterminer a, k et b.
On établira que b=1.
Conjecturer la part de sapins Nordmann que peut prévoir ce pépiniériste à long terme.


Comment résoudre le système?
Merci d'avance

Bonsoir Elise,

Est-ce \(f(x)=a+\frac{k}{x+b}\) ou \(f(x)=\frac{a+k}{x+b}\) ?

Merci de préciser pour que je te propose une aide.

A tout de suite sur le forum.

Excusez moi, c'est a+(k/(x+b))

Pour commencer je te propose une méthode :

Traduis comme pour l'année 2001 les phrases données par des égalités :\(31 = a + \frac{k}{b+1}\), tu as trois égalités.

Ensuite multiplie les deux membres de tes égalités par le dénominateur (supposé non nul) des fractions, ce qui va te donner pour la première : \(31 + 31b = ab + a +k\).

Ensuite élimine le terme \("ab"\) par soustraction des équations prises deux à deux : la deuxième moins la première, la troisième moins la deuxième, comme il n'y a plus de\("k"\) tu vas pouvoir trouver \(a\) et \(b\) dans le système linéaire de deux équations à deux inconnues.
Remplace alors dans la troisième égalité et détermine k. Vérifie dans les deux premières que tu n'as pas fait d'erreur.

Bon courage pour tous les calculs

Merci pour votre réponse, mais je ne comprends pas comment vous avez trouvé ab dans ab+a+k

J'ai multiplié \(a\) par\(b+1\) puisque a n'est pas au numérateur, il faut aussi le multiplier par \(b+1\).
Ensuite \(\frac{k}{b+1} \times {b+1}=k\), donc cela me fait \(ab + a + k\).

Bon courage

J'ai trouvé:
a=183
b=5
k=-912
Est-ce le bon résultat?

Attention, on te dit que \(b = 1\), donc ta solution n'est pas la bonne.

\(k\) est bien négatif.

Bonne continuation

J'ai le système suivant:
ab+a+k=31+31b
ab+4a+k=220+55b
ab+9a+k=567+63b

ab+a+k=31=31b
3a=189+24b
8a=536+32b (en faisant ligne 2 moins ligne 3)

et à partir de là, doit-on résout un système de deux équations à deux inconnues?

Avec l'indication\(b=1\) tu n'as qu'un système tout simple : \(31= a + \frac{k}{2}\) et \(55= a + \frac{k}{5}\) ou encore plus simple le système formé par les deux équations : \(55= a + \frac{k}{5}\) et \(63= a + \frac{k}{10}\).

Je t'ai fait faire trop de calculs, en te plaçant dans le cas général.

Bonne continuation avec ces nouvelles indications.

J'ai oublié de te dire que ton système est juste et te donne la bonne solution avec \(b=1\). C'est très bien.

J'ai finalement trouvé
a=71
b=1
k=-80
Est-ce le bon résultat cette fois-ci?

Tout à fait. Bonne continuation.

Merci beaucoup pour votre aide, j'aimerais simplement une indication pour savoir comment conjecturer la part de Nordmann à long terme?
Merci d'avance

Tu dois chercher la limite lorsque \(x\) tend vers plus l'infini. Regarde ce qui se passe pour de grandes valeurs de \(x\).

Bonne fin d'exercice.