SOS-MATH

Bonjours, j'ai un exercice de cours à finir pendant les vacances mais je n’arrive pas à trouver par quoi il faut commencer...
L'exercice est : Cherchons z tel que z³ est un réel
La prof nous a fait commencer par :
conj(z³)=z³
(conjz³)=z³
z³-(conjz³)=0
(z-conjz)(Ax+Bx+C)=0

Et la elle nous demande de chercher A,B et C ... Je ne voit pas du tout comment on peut trouver ces inconnus . je me doute qu'il faut faire Ax+Bx+C=0 mais apres je voit pas comment il est possible de trouver A,B et C alors que l'on a aussi x en inconnues ...

Bonjour Romain,

Il me semble que ton énoncé est quelque peu entaché d'erreurs.

Je pense que tu as \(z^3\) réel si et seulement si \(z^3=\bar {z^3}\) ou ce qui est équivalent \(z^3=\bar z^3\) ou encore \(z^3-\bar z^3=0\).

Tu as une équation du type \(x^3-y^3=0\) à résoudre, or une racine évidente est \(x=y\).
Tu appliques ensuite la propriété : Pour tout polynôme de degré \(n\), \(P(x)\), on a \(P(a)=0\) si et seulement si on peut écrire \(P(x) = (x-a)Q(x)\) où \(Q(x)\) est un polynôme de degré \(n-1\).

Ici tu dois donc trouver A, B et C tels que \(z^3-\bar z^3=(z -\bar z)(Az^2 + Bz + C)\).
Pour trouver A, B et C développe la dernière expression et identifie les coefficients de \(z^3\), puis de \(z^2\) puis de \(z\) et le coefficient constant dans le développement et dans \(z^3-\bar z^3\).
Par exemple \(A = 1\) car tu as \(z^3\) dans les deux expressions. B et C dépendent de \(\bar z\).

Ensuite il te reste une équation du second degré à résoudre, pour trouver d'autres solutions.

Bon courage pour tous les calculs

Merci beaucoup de m'avoir aidé à avancer. En effet, j'avais fait une erreur en recopiant l'énoncé.
Je calcule delta et les 2 z qui sont solution de l'équation dans le fichier joint.
Est ce que le résultat attendu est A=1 , B=-(z'+z") et C=z'xz"
Merci d'avance de votre réponse.

Ce que tu as écris semble correct mais ne donne pas la solution, il te faut B et C avant de calculer "delta" et de trouver les solutions. Sinon tu ne peux t'en sortir.

Tu as d'un côté : \(z^3-\bar z^3\)
et de l'autre \((z -\bar z)(Az^2 + Bz + C)= Az^3+Bz^2+Cz-A\bar z z^2-B\bar z z-C\bar z=Az^3+(B-A\bar z)z^2+(C-B\bar z)z-C\bar z\).

Tu as donc : \(A=1\) puisqu'il y a 1 \(z^3\)
puis : \(B-A\bar z = 0\) puisqu'il n'y a pas de \(z^2\);
puis : \(C-B\bar z = 0\) puisqu'il n'y pas de \(z\)
et enfin : \(C\bar z = \bar z^3\) puisqu'il y a une constante \(\bar z^3\)

Déduis-en de proche en proche les valeurs de A, B et C.

Ensuite cherche les autres solutions en résolvant l'équation du second degré.

Bon courage

Ca y est, je pense y être enfin arrivé. Je vous remercie pour votre aide précieuse.