SOS-MATH

Bonjour!
Je dois faire un exercice mais je bloque cette question :
Déterminer les réels a, b, c et d tels que, pour tout réel x appartient à R\{-2;2}, f(x)=ax+b+(cx+d)/4-x².
J'ai tout essayé en mettant ax+b au même dénominateur que cx+d mais je n'arrive toujours pas à trouver le bon résulat.
Pourriez-vous m'expliquer comment faire pour résoudre ce calcul, s'il vous plaît?
Merci d'avance!

Bonjour,
c'est la bonne démarche :
tu pars de la forme que l'on te propose :
\(ax+b+\frac{cx+d}{4-x^2}\) et tu mets au même dénominateur :
\(\frac{(ax+b)(4-x^2)+cx+d}{4-x^2}\)
Tu développes tout et tu regroupes tout par puissance de x :
\(\frac{\ldots x^3+\ldots x^2+ \ldots x+\dots}{4-x^2}\)
il te reste à identifier avec l'expression proposée au départ (je ne l'ai pas) :
les coefficients devant les puissances identiques sont égaux, cela te fait des équations d'inconnues \(a, b, c,\, \mbox{et} \,d\) qu'il faut résoudre et c'est gagné.
Bon courage

Oui, merci c'est que j'ai fais mais je n'arrive pas à retomber sur la formule de départ...
Pour f(x)=(x^3-3x²+12)/4-x²
Ou est l'indice x?
Franchement je suis perdue! --' J'ai passé toute la soirée à calculer avec des calculs inimaginables mais je n'arrive toujours pas à déterminer a,b, c et d!

Il n'y a pas de terme en x, donc l'expression que tu trouveras comme coefficient en x quand tu auras développé sera égale à 0.
Peux-tu me donner le numérateur que tu obtiens après développement ?
cela me permettra de t'aider.
A bientôt

Alors à la fin de mon développement j'ai trouvé : f(x)= 4ax-ax^3+4b-bx²+cx+d/4-x²

Tu as donc au numérateur en regroupant selon les puissances de \(x\) :
\(f(x)=\frac{-ax^3-bx^2+(4a+c)x+4b+d}{4-x^2}=\frac{x^3-3x^2+12}{4-x^2}\)
donc maintenant on identifie puissance par puissance :
selon les \(x^3\) : \({-}a=1\)
selon les \(x^2\) : ...
Je te laisse continuer.
Bon courage

Ah d'accord merci je vois!
Alors si j'ai bien compris, -a = 1;
-b = -3; 4a+c= 0 et 4b+d=12?

Tu as compris le principe, c'est bien.
A toi de terminer la résolution et de vérifier que les nombres trouvés fonctionnent bien.
Bon courage

D'après l'identification, j'ai trouvé :
a=1
b=-3
4a+c; c=-4a; c=-4*-1=4
4b+d; d=4*3=12
Est-ce bien ça?

Non,
si \({-}a=1\) alors \(a=-1\),
si \({-}b=-3\), alors\(b=3\),
Cela change aussi les valeurs de c et d qui s'en déduisent.
Reprends cela.

donc j'ai trouvé :
a=-1
b=3
c=4
et d=-12
Mais je ne comprends pas car dans la fonction de départ,d=12 et non -12! :(

Je suis d'accord avec les valeurs de a b, et c mais pas celle de d ;
d vérifie l'équation \(4b+d=12\), donc \(d=12-4b=...\)
Encore un effort...

Ca y est j'ai trouvé d=0! Merci beaucoup!

C'est cela.
Bon courage pour la suite.