Tangente/Récurrence

[Ombre]

Bonjour !

Cet exercice type BAC me pose problème est ce que quelqu'un pourrait m'aider s'il vous plaît ? :


Soit g la fonction définit sur R par g(x) = (x)/(1+x+x²). On note C₉ sa courbe associée.

PARTIE A ETUDE DE LA FONCTION g
1.a. Déterminer les limites de la fonction g en -infini et +infini
b. Donner une interprétation graphique pour C₉.

2.a. Montrer que pour tout x appartient R g'(x) = (1-x²)/(1+x+x²)² puis déterminer le sens de variations de la fonction g sur R.
b. Dresser le tableau de variations de la fonction g sur R.

3. Déterminer l'équation de la tangente (T) en x =0. Préciser la position de cette tangente par rapport a C₉.
N.B. On étudiera le signe de g(x) - x

4.Tracer les tangentes et asymptotes éventuelles puis l'allure de C₉.

5.Montrer que l'équation g(x) = -0.5 admet une unique solution alpha sur [-1;1].
c.Déterminer une valeur approchée de alpha à 10^-2 près.

PARTIE B ETUDE D'UNE SUITE DEFINIE PAR RECURRENCE

Soit (Un) la suite définie par Un+1 = (Un)/ (1+ Un + Un²) et U1 = 1 . On a donc Un+1 = g(Un)

1.a Tracer la droite d'équation y=x puis représenter les 3 premiers termes de la suite (Un).
b. Conjecturer la monotonie et la convergence de la suite (Un)

2.a. Montrer par récurrence que pour tout entier n non nul, 0<Un<1 (le signe correspond à inférieur ou égal)
N.B On pourra s'aider des variations de g.

b. Montrer par 3 méthodes que la suite (Un) est décroissante.
NB Méthode 1. : Par récurrence. Méthode 2 : Calcul direct. Méthode 3 : Utiliser Partie A.3

c. En déduire que la suite (Un) est convergente.

Partie C Limite de la suite.
a. Montrer pour tout entier n non nul : g(1/n)< 1/(n+1) (le signe correspond à inférieur ou égal)
b. Montrer alors par récurrence que pour tout entier n non nul, 0 <Un< 1/n
c. En déduire la limite de la suite (Un).



J'ai fais la PARTIE A : 1) a) b) ; 2) a) b)
Je suis arriver au 3) et j'ai trouvé que g(x) - x = x²(-1-x)/ ( 1+x+x²) et les racines sont 0 et 1 donc comme x2 est positive sa fait f'(x) = + entre -infinie et 0; - entre 0 et 1 ; + entre 1 et -infini donc f (x) est croisant, décroissant puis croisant , c'est bien çà ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
je te cite :

J'ai fais la PARTIE A : 1) a) b) ; 2) a) b)
Je suis arriver au 3) et j'ai trouvé que g(x) - x = x²(-1-x)/ ( 1+x+x²) et les racines sont 0 et 1 donc comme x2 est positive sa fait f'(x) = + entre -infinie et 0; - entre 0 et 1 ; + entre 1 et -infini donc f (x) est croisant, décroissant puis croisant , c'est bien çà ?

As-tu trouvé l'équation de la tangente au point de la courbe d'abscisse 0 ?
Tu dois utiliser la formule \(y=g^,(0)x+g(0)\) et tu devrais trouver \(y=x\)
je suis d'accord avec ton calcul de g(x)-x : mais les racines du numérateur ne sont pas 0 et 1, plutôt -1 et 0 et je ne comprends pas ton histoire de f'(x) juste après : la dérivée n'intervient pas dans une étude de signe...
Clarifie tes propos s'il te plait et renvoie nous un message.
A bientôt

[Ombre]

Bonsoir,

J'ai trouvé que pour l'équation de la tengente c'est :
Y= g(a)+g'(a)(X-a) pour a=0 
y = g(0) + g'(0)(x-0) 
y = x est l'équation de la tangente à Cg au point d'abscisse 0 

Enfet j'ai une petite confusion concernant le signe d'une fonction, je ne comprend quand on me demande de trouver le signe. Est ce que vous vous pourriez m'expliquer s'il vous plaît? 1

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut bien trouver y=x comme équation de la tangente à la courbe au point d'abscisse 0.
L'étude de la position relative de la courbe par rapport à la droite se fait en étudiant le signe de \(g(x)-x\) :
- sur les intervalles où \(g(x)-x\leq 0\), la courbe est en dessous de la tangente ;
- sur les intervalles où \(g(x)-x\geq 0\), la courbe est au dessus de la tangente ;
tu as obtenu que \(g(x)-x=\frac{x^2(-x-1)}{x^2+x+1}\), il faut étudier le signe de chacun de ces "facteurs" :
signe de \(x^2\) ?
signe de \({-}x-1\) ?
signe de \(x^2+x+1\) ?
Tu peux faire un tableau de signe en faisant une ligne pour chaque "facteur" et une ligne pour la fraction complète, mais on peut aller plus vite car il y a des facteurs qui sont toujours positifs...
Je te laisse faire.
Bon courage

[Ombre]

Bonjour,
signe de x² est positif
signe de -x-1 est positif car -x-1<0 ; -x<1 donc x>-1
signe de x²+x+1 est positif car il n'a pas de racine car delta= -3 et on prend le signe du carré donc g(x)-x> 0 donc la courbe est au-dessous de la tangente

[sos-math(21)]

Sur quel intervalle étudies-tu la position de la tangente par rapport à la courbe ?
Sur l'ensemble des réels, \(\mathbb{R}\), -x-1 n'est pas de signe constant :
sur\(]-\infty\,;\,-1], \,-x-1\geq 0\)
sur \([1\,;\,+\infty[,\, -x-1 \leq 0\)
ce qui te donnera aussi le signe de \(g(x)-x\) sur \(\mathbb{R}\) (je suis d'accord avec toi, les autres éléments sont positifs et n'influencent pas le signe du quotient)
Reprends cela.

[Ombre]

Je pense que c'est l'intervalle -1 et 0 (les racines)

[sos-math(21)]

Attention, ce que tu dis n'a pas de sens, deux nombres donnés comme cela ne forment pas un intervalle.
Reprends ce que je t'ai dit dans mon précédent message, il y a tout ce qu'il faut pour conclure.
Bon courage.

[Ombre]

Bonjour,
Je pense que c'est sur l'intervalle ]-infini;-1]

[sos-math(21)]

En l'absence de précisions je pense qu'il faut que tu étudies le signe de cette expression sur le domaine de définition de g qui est \(\mathbb{R}\) ;

Bon courage

[Ombre]

Bonjour,
-x-1 est sous la forme de ax+b donc x=-b/a et x>-b/a on a ax+b du signe de a
x> -(-1/-1)
x> -1

donc -x-1 est du signe négatif, est ce bien cela?

[sos-math(21)]

Bonjour,
ton -x-1 est de la forme \(ax+b\), il sera positif pour \(x\leq \frac{-b}{a}\) et négatif pour \(x\geq \frac{-b}{a}\).
Comme je te l'ai déjà dit, il n'est pas de signe constant, tout le temps négatif ou tout le temps positif.
Reprends cela.

[Ombre]

Bonjour,
Je pense que c'est :
De ]-infini;-1] , -x-1 est positif
Et de [1;+infini [ ; -x-1 est négatif
Et apres on doit faire un tablrau de variation?

[sos-math(21)]

Oui c'est cela,
cela suffit pour déduire la position de la tangente par rapport à la courbe.
Pourquoi parles-tu de tableau de variation ? Éventuellement un tableau de signe mais, ici ce n'est pas nécessaire, il n'y avait que \({-}x-1\) qui n'était pas de signe constant.
A toi de rédiger tout ce que l'on a vu ensemble.
Bon courage.

[Ombre]

Donc la position de cette tangente par rapport a C₉ est bien en-dessus de la courbe?