SOS-MATH

Bonjour, je ne comprend pas cette première question, ni même l'énoncé.. J'ai fait des essais, mais je ne vois pas.. Aidez moi s'il vous plait.

Un mensuel de la presse écrie souhaite étudier son public de lecteurs. Une enquête dans la population des personnes intéressées par ce mensuel a permis d'établir que :
- 10% des personnes qui n'ont pas acheté un numéro de ce mensuel achètent le suivant ;
- 20% des personnes qui ont acheté un numéro de ce mensuel n'achètent pas le suivant.
On choisit une personne au hasard dans la population étudiée.
On note An l'événement "la personne choisie a acheté le numéro du n-ième mois suivant janvier 2013" et pn la probabilité de l'événement An(p0 est donc la probabilité qu'elle choisisse la revue en janvier 2013).

1- Traduire les données 10% et 20% par des probabilités concernant les événements An, et An+1 et leurs événements contraires An et An+1.

Bonjour,
le mieux est de partir d'un arbre pondéré, traduis les 10% et 20% en probabilité 0,1 et 0,2 à mettre dans l'arbre ci-dessous : Bon courage

L'arbre pondéré est donné dans l'exercice à la question suivante. Pour la première question, je pense qu'il faut dire à quoi correspond An, An+1, et les événements contraires, mais je ne vois à quoi ces derniers correspondent..

Pour compléter l'arbre, dites moi si j'ai compris :
- An = Le client achète. --> An+1 Le client achète de nouveau le magasine. --> On ne connait pas la probabilité de cet événement.
- An = Le client achète. --> An+1barre, Le client n'achète pas. --> 0.2
-Anbarre = Le client n'achète pas. --> An+1, le client achète. --> 0.1
-Anbarre = Le client n'achète pas. --> An+1barre, le client n'achète pas. --> On ne connait pas la probabilité de cet événement.

Voici ce que je propose pour la question 1 :
La probabilité de An+1 sachant Anbarre est 10/100.
La probabilité de An+1barre sachant An est 20/100.

Voici la question 3 ci joint.

Bonjour Julien,

tu as raison pour l'interprétation des 10% et 20%.

SoSMath.

Et pour le petit a de la question 3 ? Je ne comprend pas d'où sort le 0.7 et le p0= 0.5 ..

Help ?..

Bonjour,
On va utiliser l'arbre pour te fair comprendre d'où vient cette formule :
Comme tu le vois sur l'arbre il y a deux chemins distincts qui mènent à la réalisation de \(A_{n+1}\) :
- soit on a acheté le magazine au mois n ;
- soit on ne l'a pas acheté ;
La probabilité que \(A_{n+1}\) se réalise est égale à la somme des probabilités des deux chemins en rouge sur mon schéma :
\(p_{n+1}=P(A_{n+1})=...+....\) Bon courage.

Nous étudions l'évolution à long terme de la probabilité d'être acheteur ou non de la revue.
La probabilité qu'un individu dans la population choisie achète le magasine chaque mois est de 0,8.
Et la probabilité qu'un individu achète le magasine seulement si le mois précédent il ne l'a pas acheté est de 0.1.
Donc, La probabilité qu'un individu achète la revue au mois n+1 est telle que :

pn+1=P(An+1)= 0.8pn + 0.1(1-pn)
pn+1=0.8pn-0.1pn+0.1
pn+1=0.7pn+0.1

Merciiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii ! Milles fois ! J'ai compris !
Je vais essayer de faire la suite tout seul, je reviens vers vous si jamais.

La question b : Reproduire cette feuille de calcul et comparer les probabilités de choisir un acheteur en janvier 2015 en prenan successivement p0 =0.5, p0=0, p0=1, et p0=0.8.

En janvier 2015, on a :
Si p0=0.5 ---> p25 = 0,3333556845
Si p0=0 ------> p25= 0,333288631
Si p0=1 ------> p25= 0,3334227379
Si p0=0.8 ----> p25=0,3333959165

La question c : Quelle conjecture peut on formuler ?

On remarque, que quelque soit p0, p25 est toujours environ égal à 0.33.
Donc, on peut dire que, quelque soit la probabilité que la personne choisie achète le numéro de janvier 2013, la probabilité que celle-ci achète le numéro de janvier 2015 est 0.33.

Question 4 : Demonstration :
a : Montrer que Un = pn-1/3 est une suite géométrique. On rappelle que pn+1=0.7pn+0.1.

Pour prouver qu'une suite Un est une suite géométrique, on fait le quotient de Un+1 par Un. Si le résultat est une constante, alors la suite est géométrique.

un+1/un = ( 0.7pn+0.1 ) / ( pn -1/3)
=(0.7pn+0.1)/pn x3
=(0.7+0.1/pn) x 3
=2.1 + 0.3/pn

Mais là je suis bloqué.

Bonjour Julien,

Je vais t'aider à démontrer que la suite (Un) est géométrique.
Tu pars du quotient \(\frac{u_{n+1}}{u_n}\), et c'est une méthode que l'on a dû t'apprendre : sache que cela suppose que \(u_n\) soit non nul quel que soit l'entier naturel n, et ça tu ne l'as pas montré !

Je préfère de loin partir uniquement de \(u_{n+1}\) :

\(u_{n+1}= p_{n+1}- \frac{1}{3}= 0,7 p_n +0,1 -\frac{1}{3}=0,7 p_n+ \frac{0,3}{3}-\frac{1}{3}=0,7 p_n-\frac{0,7}{3}=0,7( ...)\) .
Je te laisse terminer la factorisation puis conclure.

Bon courage

SOS-math

D'accord ! Donc Un+1=0,7(pn-1/3) est une suite géométrique de raison q=0.7.

Question 4b : En déduire que pour tout entier naturel n :
pn= (p0-1/3)0.7^n + 1/3 (^n = exposant n )

Une suite géométrique se définie par : Un = U0xq^n. Or ici, Un = pn-1/3
Ici, on a donc : Pn = (P0-1/3)x0,7^n +1/3.

Qu'est ce que vous en pensez ? J'ai l'impression qu'il y a un soucis, je sais pas trop, je suis pas sûr de moi sur ce coup.

Question 4c : Conclure.

Je pense conclure en reliant l'enoncé de départ avec la revue, et la demonstration. Ou alors est ce qu'il faut que je conclue seulement pour la question 4ab ?

Pour la question 4)a) il manque la dernière étape dans le calcul, celle qui mettra en évidence la suite géométrique justement (rappelle-toi de la définition d'une suite géométrique).

Pour la 4)b), commence par exprimer Un en fonction de n puis utilise le lien entre Pn et Un pour avoir Pn en fonction de n comme indiqué dans l'énoncé.

Pour la conclusion, pense aux limites de suites.

bonne continuation

SOS-math

J'ai réfléchis tout le week end pour la question 4b.. Mais je ne vois vraiment pas :$

Je vois ce que vous voulez dire pour la question 4a