SOS-MATH

bonsoir

Dans mon cours il y a écrit :

Soit u(n) une suite tel que u(n+1)=f(un); f étant une fonction dérivable sur [0;+oo[, si la suite (un) converge alors sa limite l est telle que f(l)=l.

Je ne comprends pas pourquoi f doit être dérivable ?


Merci de m'éclairer

Bonsoir Lucie

En fait il faut que f soit continue. La démonstration est un peu ardue et de toute façon hors de portée pour un cours de terminale.
Tu as vu dans ton cours que dérivable implique continue. Et il est plus facile d'obtenir le fait qu'une fonction est dérivable.

Bonne continuation.

Merci
Et pourquoi la fonction doit elle être continue ?


Merci

Bonsoir

Il y a deux réponses :

Un : sinon le théorème ne s'applique pas.
Deux : la démonstration n'est pas à la portée d'un élève de terminale.

Bonne continuation.

Pourquoi le théorème ne s'applique pas ?

Le théorème du point fixe utilise la régularité d'une fonction, en particulier la propriété suivante :
si f est continue en \(a\in I\) alors pour toute suite \((x_n)\) de points convergeant vers \(a\), la suite\((f(x_n))\) converge vers \(f(a)\).
On aborde des contenus un peu trop élevés pour des terminales. La continuité est ce qui permet de passer à la limite dans \(u_{n+1}=f(u_n)\), si f est continue, et que \(u_n\) converge vers\(\ell,\) alors \(u_{n+1}\) converge aussi vers \(\ell\) et on a en passant à la limite \(\ell=f(\ell)\).
sans la continuité, cela ne marche pas :
Par exemple si on considère la fonction \(f(x)=\frac{1}{x}\), f n'est pas continue en 0 (elle n'est pas définie) mais elle est continue sur\(]0\,;\,+\infty[\).
La suite \((x_n)\) définie par \(x_n=\frac{1}{n}\), est une suite de points de \(]0\,;\,+\infty[\) convergeant vers 0.
Or \(f(x_n)=\frac{1}{\frac{1}{n}}=n\) est une suite divergente donc la suite \((x_n)\) converge alors que \((f(x_n))\) diverge.
Est-ce plus clair ?