SOS-MATH

Bonjour,

j'ai un dm de TS pour les vacances, et j'ai un peu du mal (notamment la première question).

Soit f la fonction définie sur \(R-(-1)\) par \(f(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(-x+1)^2}\)

1. Demontrer qu'il existe une fonction g définie sur \(R-(-1)\) telle que \(f(x)=x+1+g(x)\) et que g(x) tend vers 0 lorsque x tend vers \(+\infty\) ou \(\infty\)

-> Je n'ai pas réussi la première partie, et donc la suite non plus (car je n'ai pas trouvé la fonction g(x)

2.a) Vérifier que \((x-1)(x^2+4x+5)=x^3+3x^2+x-5\)

-> J'ai réussi par développement

b) Calculer la dérivée de f et étudier son signe en utilisant a).

-> La, je pense que j'ai fais beaucoup d'erreurs. on a donc grâce à la a):
\(f(x)=\frac{(x+1)(x^2+4x+5)}{(x+1)^2}\)

Dérivable sur R-{-1}, car fonction rationnelle \(\frac{u(x)}{v(x)}\) avec u et et v des polynômes.
On a donc \(u(x)=(x-1)(x^2+4x+5)\) d'où \(u'(x)=3x^2+6x+1\)
et \(v(x)=(x+1)^2\) d'où \(v'(x)=2(x+1)\)

Ainsi \(f'(x)=\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v'(x)}\)
\(f'(x)=\frac{(3x^2+6x+1)(x+1)^2-(x-1)(x^2+4x+5)\times 2(x+1)}{(x+1)^4}\)

\(f'(x)=\frac{(x+1)[x^3+3x^2+5x+11]}{(x+1)^4}\)
Je pense que là il y a des erreurs (j'avais factorisé par (x+1) puis j'ai développé.

c) Déterminer les limites aux borne de l'ensemble de définition, puis conclure en dressant le tableau de variations de f

-> Je trouve en +\(\infty\) : +\(\infty\)
et en -\(\infty\) : -\(\infty\)

Mais n'ayant pas réussi la dérivée, je ne peux pas faire la suite.

3. On désigne C la courbe représentative de f dans le plan munie d'un repère orthonormal.
a) Démontrer que C possède une asymptote parallèle à l'axe des ordonnées.

-> Je pense qu'il faut étudier les limites en -1;

b) Démontrer que la droite d'équation \(y=x+1\) est asymptote oblique delta

-> On a la réponse grâce au grand 1, que je n'ai pas réussi.

c) Etudier la position relative de C et Delta. Tracer C, D et Delta.

J'aimerais avoir un peu d'aide, car j'hésite, et lorsque je suis bloqué, j'ai tendance à désespérer... S'il vous plaît.

Bonne journée.

Note annexe de culture générale: Pourquoi les asymptotes obliques ont été enlevées du programme de TS ?

Bonjour,
Pour répondre à ta remarque d'ordre "culturel" : je ne sais pas, je n'enseigne pas en Term S, mais au vu de ton exercice, j'ai envie de dire que c'est toujours au programme !
Première remarque : c'est (-x+1) au dénominateur ou (x+1) ? il me semblerait plus logique que cela soit (x+1) car la fonction n'est pas définie en -1 ;
Je vais donc faire comme si \(f(x)=\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(x+1)^2}\)
Pour la première question (assez difficile, c'est vrai), il faut partir de ce qu'on nous donne et mettre au même dénominateur :
\(x+1+\frac{g(x)}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(x+1)^2}{(x+1)^2}+\frac{g(x)}{(x+1)^2}=\frac{(x+1)(x+1)^2+g(x)}{(x+1)^2}\), on sait que cela doit être égale à \(\frac{x^3+3x^2+5x+5}{(x+1)^2}\)
Donc il te reste à développer\((x+1)(x+1)^2\) et à voir l'"écart"entre ce que tu trouves et le numérateur de départ, ce qu'il te manquera sera défini comme \(g(x)\)
Précise moi l'expression exacte de ta fonction, car il y a des choses qui me semblent bizarres dans les questions suivantes.
Bon courage

Pour la note: Notre prof nous a dit que justement depuis cette année il n'y avait plus ça au programme, mais qu'il nous donnait un dm pour les études sup.

Finalement, je trouve \(g(x)=\frac{2x+4}{(x+1)^2}\), ce qui semble juste. Les limites en + et -\(\infty\) égalent bien à 0.

Maintenant je bloque encore à la dérivée...

Je suis d'accord avec la fonction \(g(x)\);
Pour la dérivée, il faut y aller :
\(u(x)=x^3+3x^2+5x+5 \,\,\,\, u^,(x)=3x^2+6x+5\)
\(v(x)=(x+1)^2\,\,\,\, v^,(x)=2(x+1)\)
Ecris ta dérivée et simplifie par (x+1) avant de développer ;
tu dois avoir \(f^,(x)=\frac{x^3+3x^2+x-5}{(x+1)^3}\) à la fin..
Bon courage, tu peux vérifier tes calculs sur GeoGebra.

Et bien j'ai honte de moi, c'est exactement ce que j'avais fait, mais j'avais oublié de développer à l'intérieur...

Du coup la j'ai fini la partie 2 complètement.
Note: Quand on nous demande les limites aux bornes de l'ensemble de définition, s'il y a une valeur interdite, cela est-il une "borne" ?

Pour la 3)a), on a une valeur interdite en (-1) d'où asymptote verticale (parallèle à l'axe des ordonnées).
b) J'ai réussi (grâce à la définition de l'asymptote oblique avec \(f(x)=ax+b+g(x)\) d'où l'asymptote oblique est définie par \(\Delta : y=x+1\)).
c) Je n'arrive pas à étudier les positions relatives. il faut faire \(f(x)-\Delta\) ?
Je test.

La valeur interdite est bien une borne du domaine : il faut donc étudier la limite à droite et la limite à gauche.
Pour la position relative de l'asymptote par rapport à la courbe, il faut étudier le signe de la différence : \(f(x)-\Delta=\frac{g(x)}{(x+1)^2}\)
Comme le dénominateur est strictement positif, il suffit d'étudier le signe de g(x) au voisinage de \(+\infty\) et de \({-}\infty\)
Je te laisse terminer