SOS-MATH

Bonjour :) !

J'ai quelques problème avec ces exercices pourriez-vous m'aider s'il vous plaît ?

On considère la fonction f définie sur[0; +infini[ par f(x) = √(x-E(x) où E(x) désigne la partie entière de x.
1.Calculer f(0) , f(1) puis pour tout entier naturel n : f(n)
2. Exprimer f sur [0;1[ puis sur [1;2[
3. Etudier la continuité de f en 1. Plus généralement, montrer que f n'est continue en aucun entier naturel n.
4. Représenter graphiquement le fonction d sur [0;infini[

1. f(0) = 0
f(1) = 0
pour tout entier naturel n :f(n); le 2 ; le 3 e le 4 = j'ai pas compris

Merci d'avance de votre aide !

Bonjour

Tu dois utiliser la définition de E(x) : c'est le seul entier relatif vérifiant : \(E(x) \le x<E(x)+1\).
Pour le 2) sachant que x appartient à l'intervalle [0;1[, tu peux écrire que \(0 \le x <1\) donc \(E(x)=......\).

Bonne continuation.

Donc,
si x=1 ; 1 < ou = à 1 qui lui même est < 1
2) x appartient à l'intervalle [0;1[, donc 0 < ou = x < 1 don E (x) = 0

Bonjour :

exact. À toi de continuer.

Bonne continuation.

Donc :
x appartient à l'intervalle [1;2[, donc 1 < ou = x < 2 donc E (x) = 1
3) Comment faire ?

Bonjour Claire,

Donne l'expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ en tenant compte du fait que sur cet intervalle E(x)=0
Fais la même chose sur l'intervalle [1,2[.
Ensuite calcule les limites en 1, en distinguant x<1 et x>1 et compare tes résultats avec f(1).
Revois ta définition de "f continue en 1".
Conclus en utilisant tes résultats trouvés aux limites.

Bon courage

SOS-math

Bonjour,

L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ est f(0) = 0
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [1,2[ est f(1) = 0

Les limites de 1 pour x<1 et x>1 sont égales à 0 ce qui équivaut à f(1) ?

Bonjour,
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [0,1[ est f(x) = 0 
L’expression de f(x) pour x appartenant à l'intervalle [1,2[ est f(x) = 1


Par contre pour les limites f continue en 1 c'est 0 pour inférieure et supérieur ?

Bonjour,
oui tu as
en limite à gauche \(\lim_{x\to1, x<1}f(x)=0\)
en limite à droite \(\lim_{x\to1, x>1}f(x)=1\)
Ce qui prouve en particulier que f n'est pas continue en 1.
Bon courage

Donc, f n'est continue en aucun entier naturel n?

C'est cela,
c'est au niveau lycée, un exemple de fonction non continue, on dit qu'elle est continue par morceaux.
Bon courage pour la suite

Bonjour !
J'ai relu un peu mais je me suis rendu compte que je ne comprend pas un truc c'est que comment savez-vous que la limite de f(x) quand x>1 est 0 et quand x<1 sa limite est 1 j'ai pas trop compris....?

Bonsoir :

les deux derniers messages sont un peu confus.
Tu sais que la fonction \(E(x)\) est constante sur l'intervalle [0;1[ et vaut 0. En effet pour tout \(x\) dans cet intervalle \(0 \le x < 1\). Donc \(E(x)=0\). Tu peux donc en déduire \(\lim_{x \to 1^{-}}E(x)\).
Tu sais que la fonction \(E(x)\) est constante sur l'intervalle [1;2[ et vaut 1. En effet pour tout \(x\) dans cet intervalle \(1 \le x < 2\). Donc \(E(x)=1\). Tu peux donc en déduire \(\lim_{x \to 1^{+}}E(x)\).

Ce qui prouve que la fonction \(E(x)\) n'est pas continue en 1. Elle est d'ailleurs discontinue en toute valeur entière.

Bonne continuation.

J'ai toujours un peu de mal à comprendre... Le truc est que je ne comprend pas pourquoi limite de x tend vers 1 inférieur à 0 c'est égal à 0 et pour x tend vers 1 supérieur à 0 c'est égal à 1 pourtant il n'y a aucun calcul et quand je fais je trouve 0+ et 0- comme limites...