Divisibilité

[Patrick]

Bonjour,

Voici un petit exercice sur le thème de la divisibilité.
Démontrer que \(\forall n\in\mathbb{N},\quad 6|3n^2+3n+6.\)
_____________________________________

Rappel : si \(a|c\) et \(b|c\) alors \(ab|c.\)
Puisque : \(6=2\times 3\), je dois prouver que \(2\) et \(3\) divise, chacun, \(3n^2+3n+6\).
Le plus facile, je factorise \(3\) :
\(3n^2+3n+6=3(n^2+n+2)\quad\Longrightarrow\quad 3|3n^2+3n+6.\)
Ensuite, je cherche à démontrer que \(2\) divise \(n^2+n+2;\)
\(n^2+n+2=n(n+1)+2,\)
Je remarque que \(n(n+1)\) sont deux nombres entiers consécutifs, forcement pair \((2k)\) et impair \((2k+1)\);
\(n(n+1)+2=2k(2k+1+1)+2=2k(2k+2)+2=2\big[k(k+1)+1\big]\quad\Longrightarrow\quad 2|n^2+n+2.\)

Je pense que c'est CQFD ?
Merci et @+

[SoS-Math(25)]

Bonjour Patrick,

Ton raisonnement est correct. Des détails à corriger :

Ta propriété : "Si \(a|c\) et \(b|c\) alors \(ab|c\)" n'est pas vraie : exemple :

\(a=4, b=6\) et \(c=12\)... \(4|12\) , \(6|12\) mais 24 ne divise pas 12... Il faut des conditions sur \(a\) et \(b\).

Il y a des erreurs à la fin :

\(n(n+1) + 2 = 2k(2k+1) + 2\) et \(2k(2k+2) \neq 2k(k+1)\) car \(2k(2k+2) = 2\times k \times 2 \times (k+1)\).

Pour ta méthode il faut distinguer deux cas :

Si \(n\) est pair ...

Si \(n\) est impair ...

En tout cas tu as fait le plus dur !

[Patrick]

Ta propriété : "Si \(a|c\) et \(b|c\) alors \(ab|c\)" n'est pas vraie : exemple :
\(a=4, b=6\) et \(c=12\)... \(4|12\) , \(6|12\) mais 24 ne divise pas 12... Il faut des conditions sur \(a\) et \(b\).

Yes sir !
Rappel rectifié : \(\big(\,a|c\text{ et }b|c\text{ ET si }pgcd(a,b)=1\,\big)\quad\Longrightarrow\quad ab|c.\)
Dans ce cas c'est bon, 2 et 3 sont premiers entre eux.

Il y a des erreurs à la fin :
\(n(n+1) + 2 = 2k(2k+1) + 2\) et \(2k(2k+2) \neq 2k(k+1)\) car \(2k(2k+2) = 2\times k \times 2 \times(2k+1)\).

Un coup de bol, je n'ai pas pas poussé les investigations lorsque j'ai vu que 2 se factorisait !
C'est une coquille à la rédaction, j'ai compris : \(2k(2k+2) \neq 2k(2k+1)\)
Mais ok c'est \(2k\) qu'il faut factoriser ?

Pour ta méthode il faut distinguer deux cas :
Si \(n\) est pair ...
Si \(n\) est impair ...

1er cas \(n\) pair : \(n(n+1)+2=2k(2k+1)+2\), je ne peux factoriser que \(2\), mais pas \(2k,\)
2ème cas \(n\) impair : \(n(n+1)+2=(2k+1)(2k+2)+2\), idem je ne peux factoriser que \(2\), mais pas \(2k.\)
Je me demande si j'ai bien compris tes explications :-(

Merci et @+

[SoS-Math(25)]

A la fin, si tu peux factoriser par 2 cela suffit !

Detaille bien tes calculs et le reste suivra !

Bon courage !

[Patrick]

A la fin, si tu peux factoriser par 2 cela suffit !
Detaille bien tes calculs et le reste suivra !

Merci pour ta réponse.
1er cas \(n\) pair : \(n(n+1)+2=2k(2k+1)+2=4k^2+2k+2=2(2k^2+k+1)\),
2ème cas \(n\) impair : \(n(n+1)+2=(2k+1)(2k+2)+2=4k^2+6k+4=2(2k^2+3k+2).\)
C'est ok dans les 2 cas, donc \(2|n^2+n+2,\) CQFD ?
Je vais poster d'autres exercices pour consolider/valider l'emploi des différentes méthodes.

@+