Division euclidienne

[Valentin]

Bonsoir

Je ne comprends pas la correction d'un exercice

Démontrez que pour tout entier naturel n, P=n(n+1)(n+2) est divisible par 3.
Avec p un entier naturel
Si n=3p P=3p(3p+1)(3p+2)
Si n=3p+1 ...
Si n=3p+2 ...

Je ne comprends pas pourquoi on remplace n par 3p ???
Si P est divisible par 3, on doit normalement démontrer que P=3q+r

merci de m'expliquer

[SoS-Math(11)]

Bonjour Valentin,

Tu as trois nombres qui se suivent donc l'un des trois est un multiple de 3.
Si c'est le premier : \(n = 3p\) dans ce cas \(n+1 = "p+1 ...\)
Si c'est le deuxième : \(n + 1 = 3p\)
Si c'est le dernier : \(n + 2 = 3p\)
Ecrire \(3p\) c'est écrire un multiple de \(3\).

Bonne journée.

[SoS-Math(11)]

J'ai oublié un \(3\) : \(n+1=3p+1\) et pas \(n+1=p+1\) ; excuse-moi.

[Valentin]

Désolé je ne comprends toujours pas

[sos-math(12)]

Bonjour :

Tu peux procéder par disjonction des cas (sur le reste dans la division euclidienne de n par 3).
Il n'y a que trois cas possibles :

Le reste est 0 dans ce cas \(n\) s'écrit \(3 \times p\).
Le reste est 1.
Le reste est 2.

Tu dois donc montrer que dans chaque cas le produit \(n \times (n+1) \times (n+2)\) est un multiple de 3.

Bonne continuation.

[Valentin]

Ce que je ne comprends pas c'est pourquoi on doit remplacer n par 3p, si on fait ce changement on change la valeur de P ???

[SoS-Math(25)]

Bonjour Valentin,

Il y a 3 cas possibles pour un nombre entier quelconque \(n\) :

Soit \(n\) est un multiple de 3 donc il existe un nombre entier \(p\) tel que \(n = 3p\). Comprends-tu ?

Soit \(n\) n'est pas un multiple de 3 donc le reste de la division euclidienne de \(n\) par 3 est 1 ou 2. C'est pourquoi on peut, dans ce cas, écrire \(n = 3p + 1\) ou \(n = 3p + 2\).

Dans tous les cas, on ne change pas la valeur de P, c'est juste l'écriture de \(n\) qui varie.

J'espère t'avoir éclairci un peu.

Bon courage !

[Valentin]

Si P n'était pas écrit avec des facteurs (par exemple P définie par une somme), est-ce qu'on peut appliquer le même raisonnement ?

[SoS-Math(11)]

Bonsoir Valentin,

pas du tout mais néanmoins en écrivant les trois nombres \((n-1) ; n ; (n+1)\) la somme est \(3 n\) donc multiple de \(3\).

Bonne continuation