Algorithme de Newton

[George]

Bonjour, j'ai un dm pour dans quelques semaines, et le sujet de celui-ci est "Algorithme de Newton".

Soit f la fonction définie sur \(]0; +\infty[\) par \(f(x)=x^2-2\)
On note \(C_f\) sa courbe représentative.
Soit \(n\in N\) et \(U_n\in ]0; +\infty[\).

Montrer que \(T_n\), la tangente à \(C_f\) au point d'abscisse \(U_n\), coupe l'axe des abscisses en \(U_{n+1}\) avec: \(U_{n+1}=\frac{1}{2}(U_n+\frac{2}{U_n})\) (R)

Ca j'ai réussi.

1. Justifier que \(1<\sqrt{2}<2\)

Je suis parti du principe que \(1<2<4\), d'où \(\sqrt{1}<\sqrt{2}<\sqrt{4}\) et que vu que la fonction \(\sqrt{x}\) est définie et croissante sur \([0; +\infty[\), l'inégalité ne change pas de sens.
D'où \(1<\sqrt{2}<2\).
Mais je ne suis pas sûr que ce soit ça qu'il fallait faire.

2. On pose \(U_0=2\). Grâce à la relation (R) précédente, justifier que l'on peut définir la suite \((U_n)\) sur \(N\).

J'ai calculé \(U_1,U_2\) et \(U_3\) mais je ne vois pas comment justifier.

3. Montrer que, pour tout \(n\in N\), \(U_n\ge 1\).

Récurrence ? J'ai testé mais je me suis embrouillé.

4. Montrer que, pour tout \(n\in N\), on a:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2}(U_n-\sqrt{2})^2\) (H)

5. Traduire en langage courant ce dernier résultat. Qu'a-t-il de remarquable ?

La distance entre \(U_n\) et \(\sqrt{2}\) est inférieure où égale à la moitié du carré de cette distance. Je ne sais pas quoi remarquer...

6. En déduire que, pour tout \(n\in N\), on a:
\(|U_{n+1}-\sqrt{2}|\le\frac{1}{2^{2_n-1}}\)

7. Conclure en donnant une condition suffisante pour connaître une approximation de \(\sqrt{2}\) à \(10^{-10}\) près.

Je ne risque pas de répondre à cette question en sachant que je n'ai pas réussi la plupart ^^

Si vous pouviez m'aider s'il vous plaît, je vous serai remerciable.
Bonne journée

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour la justification de la suite, à partir du moment où il y a \(U_n\) au dénominateur, il faut s'assurer que \(U_n\neq0\) pour tout n, en montrant par exemple que \(U_n>0\), en faisant une récurrence et en utilisant la relation définissant \(U_{n+1}\).
Pour montrer que \(U_n>1\), une récurrence est bien pensée.
Pour l'hérédité, il faut penser à écrire \(U_{n+1}-1=\frac{1}{2}\left(U_n+\frac{2}{U_n}\right)-1=\frac{1}{2}\left(U_n+\frac{2}{U_n}-2\right)=\frac{1}{2}\frac{U_n^2+2-2U_n}{U_n}=\frac{1}{2}\frac{(U_n-1)^2+1}{U_n}>0\)
Rédige bien cela et continue la suite, la question 1 est bien traitée.
Bon courage