SOS-MATH

Bonjour

J'aimerais avoir votre aide

Soit u(n) la suite définie par u(n+1)=(u(n)-1)/2 (expression récurrente) et u(n)=-1+1/2^(n-1) (expression explicite)

Étudiez le sens de variation. On cours nous avant appris que pour étudier le sens de variation on peut utiliser le raisonnement par récurrence.
Mais ceci me pose un problème car quand j'utilise le raisonnement par récurrence, j'obtiens une suite croissante et lorsque je fais la différence, j'obtiens une suite décroissante.


Merci de m'éclairer

Bonsoir,

Afin d'être sûr que nous parlons de la même chose, vérifie stp qu'il s'agit de la suite :

\(u_{0}=1\) et \(u_{n+1}=\frac{u_{n}-1}{2}\)

ou encore,

\(u_{n}=-1+\frac{1}{2^{n-1}}\).

Méthode 1. On fait la différence de deux termes consécutifs :

\(u_{n+1}-u_{n}=\left( -1+\frac{1}{2^{n}}\right) -\left( -1+\frac{1}{2^{n-1}}\right) =\frac{1}{2^{n}}-\frac{1}{2^{n-1}}=\frac{1}{2^{n-1}}\left( \frac{1}{2}-1\right) =\frac{1}{2^{n-1}}\times \left( \frac{-1}{2}\right) <0\) pour tout \(n\) dans N.

Méthode 2. Par récurrence.

Initialisation.
\(u_{0}=1\) et \(u_{1}=0\) par conséquent \(u_{1}<u_{0}\)

Hérédité.
On suppose qu'il existe un entier p tel que \(u_{p+1}<u_{p}\) et on montre que :
\(u_{p+2}<u_{p+1}\) en raisonnant sur les inégalités.

Bonne continuation.

Ces deux expression expriment la même suite u(n)

définie par récurrence
u(n+1)=(u(n)-1)/2

Pour étudier le signe on a
u(n) < u(n+1)
u(n)-1 < u(n+1)-1
(u(n)-1)/2 < (u(n+1)-1)/2
la suite conserve l’ordre elle est croissante

Si j'utilise la deuxième expression (explicite) de u(n) c'est à dire -1+1/2^(n-1)
u(n+1)-u(n)= 1/2^n - 1/2^(n-1)
la différence étant négative la suite est décroissante

Voilà, c'est bien, je crois que tu as compris.

Cependant :

1) pour le raisonnement par récurrence, n'oublie pas la dernière étape : \(u_{n+2}<u_{n+1}\)

et n'oublie pas de conclure également.

2) pour le raisonnement à partir de la forme explicite, tu dois factoriser comme je t'ai montré pour pouvoir conclure que la différence est négative et donc que la suite est décroissante.

Bonne continuation.

u(n+1)-u(n)= 1/2^n - 1/2^(n-1) = -1/2^n

C'est négatif

Je ne comprends pas pourquoi on ne trouve pas les mêmes variations alors qu'il s'agit de la même suite.

Mais on trouve bien les mêmes variations.

Je suis désolé, car j'ai lu ton message précédent trop rapidement : tu ne dois pas partir de u(n) < u(n+1).

Dans le raisonnement par récurrence, on montre que la propriété \(u_{n+1}<u_{n}\) est vraie pour tout \(n\).

Relis bien mon premier message.

Puis, essaie de montrer que \(u_{p+2}<u_{p+1}\) en faisant un raisonnement analogue au tien.

Bon courage.

Mais comment on sait à partir seulement de l'énoncé si c'est u(n)<u(n+1) ou u(n+1)<u(n) ?

En fait quand on étudie le sens de variation d'une suite \((u_n)\) par récurrence, on montre que :

\(u_{n}<u_{n+1}\) pour tout \(n\), pour montrer qu'elle est strictement croissante,

ou bien,

\(u_{n+1}<u_{n}\) pour tout \(n\), pour montrer qu'elle est strictement décroissante.

A partir du moment où la propriété est héréditaire, tout se joue sur la comparaison des deux premiers termes : si \(u_0<u_1\) alors la suite est strictement croissante ; et si \(u_1<u_0\) alors la suite est strictement décroissante.

Pour répondre à ta question, il faut comparer donc les deux premiers termes de la suite et montrer que la propriété est héréditaire.

As-tu compris cette fois-ci ?