SOS-MATH

Bonjour

J'aimerais savoir si les théorèmes de comparaison ne s'appliquent que lorsque les suites sont divergentes (limite -/+oo)


Par exemple: si pour tout n on a u(n)<v(n) et lim v(n)=0

Est-ce qu'on peut dire que la limite de u(n) est 0 ?

merci

Bonjour :

Dans ce cas, le théorème ne s'applique pas. La preuve avec \(u_n=-3 \times n-2\) et \(v_n=\frac{1}{n+1}\)
La forme générale du théorème de comparaison est la suivante : soit trois suites \((u_n)\) \((v_n)\) \((w_n)\) telles que \(\forall n \in \mathbb{N}\) : \(u_n \leq v_n \leq w_n\). Alors
Si \(\lim_{n \to +\infty} v_n = - \infty\) alors \(\lim_{n \to +\infty} u_n = - \infty\).
Si \(\lim_{n \to +\infty} v_n = + \infty\) alors \(\lim_{n \to +\infty} w_n = + \infty\).
Si \(\lim_{n \to +\infty} u_n = l\) et \(\lim_{n \to +\infty} w_n = l\) alors \(\lim_{n \to +\infty} v_n = l\). Ce dernier résultat est connu sous le nom de "théorème des gendarmes".

Bonne continuation.