Démonstration suite (type prépa)

[Gautier]

Bonjour :)

Alors voilà mon énoncé:

1)Démontrer que pour tout entier p \(p\ge 1\):
\(\sqrt{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p+1)^2}}=1+\frac{1}{p(p+1)}\)

J'ai essayé avec une démonstration par récurrence mais je m'embrouille vite dans les calculs à cause de la racine est des inverses.

2)En déduire:
\(\sqrt{1+\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}}+\sqrt{1+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}}+...+\sqrt{1+\frac{1}{2011^2}+\frac{1}{2012^2}}\)

Là je vois pas comment faire. Si je résume cette question, on nous demande:

\(\sum \limits_{i=1}^{2011} \sqrt{1+\frac{1}{i^2}+\frac{1}{(i+1)^2}} = ?\)

Non ?

Merci de votre aide, bonne journée.

[sos-math(21)]

Bonjour,
On te demande de démontrer une égalité où une racine carrée disparait, cela signifie que l'on a pu écrire ce qu'il y a sous la racine comme le carré d'un nombre :
\(\sqrt{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p+1)^2}}=1+\frac{1}{p(p+1)}\)
On va donc démontrer une égalité équivalente puisque les nombres sont positifs, en élevant au carré :
\(\left(1+\frac{1}{p(p+1)}\right)^2=1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p+1)^2}\)
Donc je te suggère de partir du membre de gauche, de développer avec une identité remarquable, tu obtiendras 3 termes dont un qui vaut \(\frac{1}{p^2(p+1)^2}\)
Celui-ci, il faut un peu l'arranger et l'éclater en deux fractions : il faut écrire \(\frac{1}{p^2(p+1)^2}=\frac{p^2+1-p^2}{p^2(p+1)^2}=\frac{p^2}{p^2(p+1)^2}+\frac{1-p^2}{p^2(p+1)^2}\)
et simplifier ensuite pour obtenir \(\frac{1}{(p+1)^2}\), d'un côté et une autre fraction qu'il faudra ensuite regrouper avec la fraction obtenue au début (double produit de l'identité remarquable).
Je te laisse travailler un peu
Bon couage

[sos-math(21)]

Tu a donc obtenu l'égalité donc la somme que tu as à calculer doit se simplifier en
\(\sum \limits_{p=1}^{2011} \sqrt{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{(p+1)^2}} =\sum \limits_{p=1}^{2011}1+\frac{1}{p(p+1)}\) soit \(\sum \limits_{p=1}^{2011}1+\sum \limits_{p=1}^{2011}\frac{1}{p(p+1)}=2011+\sum \limits_{p=1}^{2011}\frac{1}{p(p+1)}\)
Là encore, une ruse de sioux est utile ; si tu écris : \(\frac{1}{p(p+1)}=\frac{p+1-p}{p(p+1)}=\frac{p}{p(p+1)}+\frac{1-p}{p(p+1)}=\frac{1}{p+1}-\frac{1}{p}\)
Donc en faisant la somme on a ce qu'on appelle une somme télescopique, c'est-a-dire que les termes s'éliminent successivement et tu dois avoir une valeur très simple à la fin...
Je te laisse terminer...

[Gautier]

Ah d'accord merci je ne savais pas.
Cependant j'ai beau tester la dernière égalité, je pense qu'elle est fausse. Je parle ce celle ci:
\(\frac{p+1-p}{p(p+1)}=\frac{1}{p+1}-\frac{1}{p}\)

[sos-math(12)]

Bonsoir :

En effet. Par contre \(\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}=\frac{p+1-p}{p(p+1)}\).

Bonne continuation.

[Gautier]

Bonsoir, je reviens vers vous car je bloque.

J'ai en effet:
\(2011+\sum \limits_{p=1}^{2011} \frac{1}{p(p+1)}\)

Or \(\frac{1}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\)

D'où \(2011+\sum \limits_{p=1}^{2011} \frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\)

Et là je ne suis pas sûr: \(2011+\sum \limits_{p=1}^{2011} \frac{1}{p}-\sum \limits_{p=1}^{2011} \frac{1}{p+1}\)

Si on continue mon raisonnement: \(2011+\frac{\sum \limits_{p=1}^{2011}1}{\sum \limits_{p=1}^{2011}p}- \frac{\sum \limits_{p=1}^{2011}1}{\sum \limits_{p=1}^{2011}p+1}=2011+\frac{2011}{\frac{2011(2011+1)}{2}}-\frac{2011}{\frac{(2011+1)(2011+2)}{2}}=2011+\frac{2011}{2023066}-\frac{2011}{2025078}\)

Bref, je pense pas que ce soit bon du tout. Je pense que l'erreur vient de là: \(\frac{\sum \limits_{p=1}^{2011}1}{\sum \limits_{p=1}^{2011}p}- \frac{\sum \limits_{p=1}^{2011}1}{\sum \limits_{p=1}^{2011}p+1}\)
Je ne connais pas trop les propriétés sur les sommes aussi. Mais je ne vois pas comment on peut simplifier encore (ou alors la solution est évidente, et j'ai oublié une sorte de calcul...)

[sos-math(21)]

En effet, je me suis trompé dans la relation que je t'ai donné :
\(\frac{1}{p(p+1)}=\frac{p+1-p}{p(p+1)}=\frac{p+1}{p(p+1)}-\frac{p}{p(p+1)}=\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\)
Tes raisonnements sur les sommes sont erronés : tu ne peux pas dire que la somme des inverses est égale à l'inverse de la somme des entiers.
La décomposition que je t'ai donnée te permet de traiter les choses plus simplement. Pour le voir, on peut écrire la somme avec des pointillés :
On a donc
\(\sum \limits_{p=1}^{2011}1+\sum \limits_{p=1}^{2011}\frac{1}{p(p+1)}=2011+\sum \limits_{p=1}^{2011}\frac{1}{p}-\frac{1}{p+1}\)
donc on a
\(\sum \limits_{p=1}^{2011}1+\sum \limits_{p=1}^{2011}\frac{1}{p(p+1)}=2011+\underbrace{\left(1-\frac{1}{2}\right)}_{p=1}+\underbrace{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)}_{p=2}+...+\underbrace{\left(\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\right)}_{p=2011}\)
Beaucoup de termes s'éliminent deux à deux, il reste très peu..
Je te laisse chercher

[Gautier]

Ah d'accord ! Je me retrouve donc avec:
\(2012-\frac{1}{2012}\)
dois je encore simplifier où cette expression suffit ?

[sos-math(21)]

On peut laisser comme cela, c'est très simple comparé à ce qu'on avait au début.
Bon courage.

[Gautier]

Merci beaucoup de votre aide :)

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite,
A bientôt sur sos-math