SOS-MATH

Bonjour ! Je m'appelle Julia et je suis en Terminale ES.
J'ai un exercice auquel je n'arrive pas, ou du moins peu.

Voici l'énoncé :

La course d'Achille et la tortue

Situation
Le fougueux Achille court à une vitesse de 14 m/s, au moins comme le kényan Noah Ngeny. Et la tortue "court" à 0.25 km/s soit 0.07 m par seconde.
Achille par générosité, laisse la tortue partir à 700 m devant lui.

Action
Ils partent en même temps. Pour Zénon, lorqu'Achille arrive à l'endroit d'où est partie la tortue, la brave bête, pas impressionnée, a parcouru du chemin. Dès qu'Achille arrive à l'endroit où était la tortue, elle est plus loin ! Et ainsi de suite ! Achille n'en finit pas de parcourir du chemin pour rattraper la tortue, pendant, dixit Zénon, un temps infini, et ne peut la dépasser.

Modélisation
Soit la distance parcourue, en mètre, par Achille à l'étape n pour atteindre l'endroit où était la tortue .
Ainsi U1=700

a. Calculer la distance parcourue par la tortue pendant ce temps-là. En déduire U2

b. Exprimer, en fonction de Un, la distance Un+1 parcourue par la tortue pendant qu'Achille parcourt la distance Un. En déduire la nature de la suite (Un)

c. Exprimer en fonction de n la somme des distances parcourues par Achille :
Sn=U1+U2+U3+...Un

d. Déterminer la limites de (Sn)

Conclusion
Interpréter le résultat.
Quelle est la "faille" dans le paradoxe de Zénon ?

Je tiens à préciser que cet exercice a déjà été proposé ultérieurement sur le forum.


Ce que j'ai essayer de faire :

a. U2=700+3.5=703.5

b. Un+1=700+Un donc arithmétique

c et d. Je devrai y arriver normalement

Je ne sais pas si les deux premières réponses sont correctes

Bonjour Julia,

Une question : Un est-elle la distance parcourue depuis l'étape précédente (u(n-1)) ou depuis le début ?
Je pense que Un est la distance parcourue depuis l'étape précédente (u(n-1)) car à la fin on demande de faire la somme des distances parcourues ...
Dans ces conditions, U2= 703,5 est faux. On a U2 = 3,5.

SoSMath.

Sur l'énoncé il nous dise : soit Un la distance parcourue en mètre par Achille a l'étape n pour atteindre l'endroit où était la tortue.

Julia,

Donc d'après l'énoncé, Un est la distance parcourue depuis de la dernière étape.
donc U2 = 3,5.

SoSMath.

Je comprend pas ce raisonnement...

Julia,

Ton énoncé dit que "Un est la distance parcourue en mètre par Achille à l'étape n pour atteindre l'endroit où était la tortue".
Donc à l'étape 1, il parcourt 700m qui est la distance entre son point de départ et celui de la trotue.
A la fin de l'étape 1, Achille a parcouru 700m mais la tortue a avancé pendant ce temps de 3,5 m.
Donc à l'étape 2, Achille devra parcourir 3,5 mètre pour atteindre le point de départ de la tortue.
A la fin de l'étape 2, Achille a parcouru 3,5m mais la tortue a avancé pendant ce temps de ... m.
Ainsi de suite...

J'espère que cela va t'aider.

SoSMath.

D'accord j'ai bien saisit le truc !

Donc, pour la b.

On aura :

Un+1=Un+3.5

?

Non Julia !

Achille pour parcourir les 700 m (U1) il a mis 700/14 = 50 s. Et pendant les 50 s la tortue a parcouru 0,007*50 = 3,5 m. D'où U2 = 3,5.
Achille pour parcourir les 3,5 m (U2) il a mis 3,5/14 = ... s. Et pendant les ... s la tortue a parcouru 0,007*... = ... m. D'où U3 = ...
ainsi de suite ... donc :
Achille pour parcourir Un il a mis Un/14 s. Et pendant ce temps, la tortue a parcouru 0,007*... = ... m. D'où U(n+1) = ... (à toi de compléter).

SoSMath.

Achille pour parcourir les 700 m (U1) il a mis 700/14 = 50 s. Et pendant les 50 s la tortue a parcouru 0,007*50 = 3,5 m. D'où U2 = 3,5.
Achille pour parcourir les 3,5 m (U2) il a mis 3,5/14 = 0.25 s. Et pendant les 0.25 s la tortue a parcouru 0,007*0.25 = 0.028 m. D'où U3 = 0.028
ainsi de suite ... donc :
Achille pour parcourir Un il a mis Un/14 s. Et pendant ce temps, la tortue a parcouru 0,007*(Un/14) = ... m. D'où U(n+1) =0.007*(Un/14)

C'est cela Julia.

Il te reste à simplifier U(n+1) =0.007*(Un/14).

Ce qui va te donner une suite particulière ...

SoSMath.

Pour simplifier on peut faire

Un+1=(0.007*Un)/14 ?
Le hic c'est qu'on me demande d'en déduire la nature... J'aurai pensé à géométrique, mais je suis pas sure

Ensuite pour la question c. j'ai fais ça :

Sn=700*(1-...^n/1-...)

Au ... j'aurai voulu mettre la raison, mais je suis pas sure que ce soit un suite géométrique, et si c'est le cas, je vois pas quelle est la raison

julia,

enlever les paranthèses de U(n+1) est faux !
Par contre tu peux simplifier (0.007*Un)/14 .... rappel \(\frac{a\times b}{c}=\frac{a}{c}\times b\).

SoSMath

0.007*(Un/14) = 0.007*Un/14

Je vois pas ou vous voulez en venir

Bonsoir,

Il faut juste simplifier l'expression que vous avez afin de reconnaitre une suite particulière.
\(0,007\times\frac{U_n}{14} = \frac{0,007\times U_n}{14}=...\)

Rappel : \(\frac{a\times b}{c}=\frac{a}{c}\times b\)

Bonne continuation

Je crois savoir ce que je dois faire !

U(n+1)= \(\frac{0.007*Un}{14}\)

U(n+1)= \(\frac{0.007}{14}\)* Un

U(n+1)= \(\frac{1}{2000}\)*Un

Suite géométrique de raison q=\(\frac{1}{2000}\)

Question c

S = 1er terme * \(\frac{1-q^{nombre de terme}}{1-q}\) C'est la formule du cours, je remplace donc par les données de l'exercice

Sn = 700* \(\frac{1-(1/2000)^n}{1-(1/2000)}\)

[Edit : correction de formule]