Limite corsée !

[Patrick]

Bonjour,

J'ai besoin d'un coup de main pour trouver cette limite...
\(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan(x)-x}{x^2}\right)\)
_____________________________________
Rappel de cette limite : \(\lim_{x \to 0}\left(\frac{\tan(x)}{x}\right)=1\)
J'ai essayé de factoriser avec \(\dfrac{1}{x}\) ou \(\dfrac{1}{x^2}\), mais je tombe sur une forme indéterminée "\(0\times\infty\)",
Si je transforme l'expression ainsi : \(\dfrac{\tan(x)}{x^2}-\dfrac{x}{x^2}=\dfrac{\tan(x)}{x^2}-\dfrac{1}{x}\), j'ai encore une forme indéterminée "\(\infty-\infty\)".
Bref, si vous avez une piste, je suis preneur !

Merci et @+

[sos-math(12)]

Bonjour,

Il me semble que pour étudier cette limite il faut passer par un développement limité de la fonction tangente au voisinage de 0. Mais je ne sais pas si cela vous a été présenté.

Bonne continuation.

[Patrick]

Merci pour la réponse.
Pour vérifier une approximation, à l 'aide de Geogebra, j'ai tracé les courbes \(y=\tan(x)\) et \(y=x\).
J'ai "zoomé" à fond et les courbes se chevauchent parfaitement en 0, donc j'en déduis que \(\tan(x)\simeq x.\)
Dans l'expression initiale, si je remplace \(\tan(x)\) par \(x\) j'ai toujours une forme indéterminée :-(

@+

[SoS-Math(9)]

Bonjour Patrick,

Ce que tu as observé avec Geogebra, c'est un développement à l'ordre 1 (approximation affine) ... mais cela n'est pas suffisant !
Il faut le développement de tan(x) à l'ordre 3 pour trouver la limite.
Si tu ne connait pas les développements limités, la détermination de ta limite est compliquée ! (sauf si tu as trouvé des résultats dans les questions précédentes ...)

SoSMath.

[Invité]

Ce que tu as observé avec Geogebra, c'est un développement à l'ordre 1 (approximation affine) ... mais cela n'est pas suffisant !
Il faut le développement de tan(x) à l'ordre 3 pour trouver la limite.

\(\tan(x) = x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}+\frac{17x^7}{315}+\cdots+\frac{B_{2n}(-4)^n(1-4^n)}{(2n)!}x^{2n-1}+o(x^{2n})\)
Si j’utilise le 3 premiers termes de ce développement à la place de \(\tan(x)\) :
\(\lim_{x \to 0}\left(\dfrac{x+\frac{x^3}{3}+\frac{2x^5}{15}-x}{x^2}\right)=\lim_{x \to 0}x(2x^2+5)=0\)
Je remarque que le résultat est le même en utilisant, seulement, les 2 premiers termes du développement.

@+

[SoS-Math(9)]

En effet il suffisait de prendre l'ordre 3 (les deux premiers termes) !

SoSMath.