SOS-MATH

Bonjour, pour approfondir la partie entière, j'ai un DM à faire (facultatif mais j'aimerais quand même le comprendre ) :

On me demande de résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) [x+3]<=[4x²+5]
b) [2x+3]=[3x+2]

Pour la b), j'ai écrit :

[x]<x<[x]+1 donc 2[x]+3<2x+3<2[x]+5 donc deux possibilités : partie entière de 2x+3 = 2[x]+3 ou 2[x]+4
De même, [x]<x<[x]+1 donc 3[x]+2<3x+2<3[x]+5 donc deux posstibilités pour la partie entière de 3x+2 à savoir 3[x]+2 ou 3[x]+3

je ne suis pas 100% sure et je suis bloquée à ce stade.

Merci de me donner une aide ;)

Bonjour :

Le problème ne semble pas simple à première vue mais on peut commencer par étudier les représentations graphiques des deux fonctions affines \(f(x)=2x+3\) et \(g(x)=3x+2\).
Lorsque \(f(x)=g(x)\) on a alors de manière évidente \(E(2x+3)=E(3x+2)\).
En résolvant l'inéquation \(3x+2<(2x+3)+1\) on peut en conclure que pour les solutions de cette inéquation \(E(3x+2) \neq E(2x+3)\).
De même avec l'inéquation \(2x+3 < (3x+2)+1\).
Ce qui permet de restreindre l'étude à un certain intervalle.
Il faudra ensuite procéder par disjonction des cas (il me semble).

Et la même stratégie doit pouvoir s'appliquer pour le a).

Bonne continuation

Bonsoir,

en résolvant les inéquations, je trouve que x<-4 et x>0 ce qui n'est pas trop logique...

Bonjour

Je suis d'accord avec \(0<x\) mais je suis plus réservé pour \(x<-4\).

Bonne continuation.

donc je ne dois pas le prendre en compte mais pourquoi ?

connaissez vous une méthode générale pour résoudre des équations ou inéquations avec des parties entières car j'aimerais vraiment les maitriser

Bonjour : la résolution de la deuxièmes inéquation n'est pas bonne. Il faut la revoir.

\(3x+2 < (2x+3)+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x<2\)

Et il n'existe pas de formules pour résoudre les équations et inéquations avec partie entière.

Bonne continuation.

ok

a) j'ai dit que [x+3]<=[4x²+5] était toujours vrai.

b) Je trouve comme solution x=1.
J'ai cependant utilisé une autre méthode car je ne comprends pas l'inégalité que vous avez écrit :

j'ai fait : 2x+2<[2x+3]<2x+3 et 3x+1<[3x+2]<3x+2 donc :

2x+2=3x+2 pour x=0
2x+3=3x+2 pour x=1
3x+1=2x+3 pour x=-2
3x+2=2x+3 pour x=1

Donc solution 1

Bonjour

la réponse a) est correcte mais il faut la justifier.

La technique utilisée est la suivante : si \(a-b>1\) alors je peux affirmer que \(E(a) \neq E(b)\).
En effet \(a-b>1\) signifie qu'il existe un entier \(n\) vérifiant \(b<n<a\) et donc \(E(b)<n\) et \(n \leq E(a)\).

Il y a d'autres solutions : essaye 0,4 ..... \(2 \times 0,4+3=3,8\) et \(3 \times 0,4+3=3,2\).

Il faut donc procéder par disjonction des cas sur l'intervalle [0;2].

Bonne continuation

d'accord je vais essayer