Partie entière DM

[man]

Bonjour, pour approfondir la partie entière, j'ai un DM à faire (facultatif mais j'aimerais quand même le comprendre ) :

On me demande de résoudre les équations et inéquations suivantes :

a) [x+3]<=[4x²+5]
b) [2x+3]=[3x+2]

Pour la b), j'ai écrit :

[x]<x<[x]+1 donc 2[x]+3<2x+3<2[x]+5 donc deux possibilités : partie entière de 2x+3 = 2[x]+3 ou 2[x]+4
De même, [x]<x<[x]+1 donc 3[x]+2<3x+2<3[x]+5 donc deux posstibilités pour la partie entière de 3x+2 à savoir 3[x]+2 ou 3[x]+3

je ne suis pas 100% sure et je suis bloquée à ce stade.

Merci de me donner une aide ;)

[sos-math(12)]

Bonjour :

Le problème ne semble pas simple à première vue mais on peut commencer par étudier les représentations graphiques des deux fonctions affines \(f(x)=2x+3\) et \(g(x)=3x+2\).
Lorsque \(f(x)=g(x)\) on a alors de manière évidente \(E(2x+3)=E(3x+2)\).
En résolvant l'inéquation \(3x+2<(2x+3)+1\) on peut en conclure que pour les solutions de cette inéquation \(E(3x+2) \neq E(2x+3)\).
De même avec l'inéquation \(2x+3 < (3x+2)+1\).
Ce qui permet de restreindre l'étude à un certain intervalle.
Il faudra ensuite procéder par disjonction des cas (il me semble).

Et la même stratégie doit pouvoir s'appliquer pour le a).

Bonne continuation

[man]

Bonsoir,

en résolvant les inéquations, je trouve que x<-4 et x>0 ce qui n'est pas trop logique...

[sos-math(12)]

Bonjour

Je suis d'accord avec \(0<x\) mais je suis plus réservé pour \(x<-4\).

Bonne continuation.

[man]

donc je ne dois pas le prendre en compte mais pourquoi ?

connaissez vous une méthode générale pour résoudre des équations ou inéquations avec des parties entières car j'aimerais vraiment les maitriser

[sos-math(12)]

Bonjour : la résolution de la deuxièmes inéquation n'est pas bonne. Il faut la revoir.

\(3x+2 < (2x+3)+1\) \(\Leftrightarrow\) \(x<2\)

Et il n'existe pas de formules pour résoudre les équations et inéquations avec partie entière.

Bonne continuation.

[man]

ok

a) j'ai dit que [x+3]<=[4x²+5] était toujours vrai.

b) Je trouve comme solution x=1.
J'ai cependant utilisé une autre méthode car je ne comprends pas l'inégalité que vous avez écrit :

j'ai fait : 2x+2<[2x+3]<2x+3 et 3x+1<[3x+2]<3x+2 donc :

2x+2=3x+2 pour x=0
2x+3=3x+2 pour x=1
3x+1=2x+3 pour x=-2
3x+2=2x+3 pour x=1

Donc solution 1

[sos-math(12)]

Bonjour

la réponse a) est correcte mais il faut la justifier.

La technique utilisée est la suivante : si \(a-b>1\) alors je peux affirmer que \(E(a) \neq E(b)\).
En effet \(a-b>1\) signifie qu'il existe un entier \(n\) vérifiant \(b<n<a\) et donc \(E(b)<n\) et \(n \leq E(a)\).

Il y a d'autres solutions : essaye 0,4 ..... \(2 \times 0,4+3=3,8\) et \(3 \times 0,4+3=3,2\).

Il faut donc procéder par disjonction des cas sur l'intervalle [0;2].

Bonne continuation

[man]

d'accord je vais essayer