Bonjour, j'ai entendu dire qu'on pouvait calculer des limites de suite en s'aidant des logarithmes népériens. J'ai essayer de regarder sur internet mais je ne trouve pas. J'aimerai bien que quelqu'un me dise comment peut-on se servir de (ln) pour calculer la limite de par exemple :
n/(2^n) [ je prend cette exemple car je pense que je ne pas calculer la limite de ce truc sans la fameuse technique des (ln) ]
Merci de m'aider.
calcul de limite avec ln
-
François
-
sos-math(12)
- Messages : 476
- Enregistré le : mer. 11 mars 2009 15:32
Re: calcul de limite avec ln
Bonjour,
Pour l'exemple concerné on peut remarquer que \(\forall n \in \mathbb{N}\) , \(u_n>0\).
On peut donc définir \(v_n=ln(u_n)=ln(\frac{n}{2^n})=ln(n)-n ln(2)\). Soit \(v_n=n(\frac{ln(n)}{n}-ln(2))\).
On peut obtenir la limite de \(v_n\). \(\lim_{n \to + \infty} v_n=- \infty\).
Et \((v_n=ln(u_n)) \Leftrightarrow (u_n=e^{v_n})\).
Donc \(\lim_{n \to + \infty} u_n=0^{+}\).
Remarque : dans ce cas on peut aussi utiliser le fait que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n}\). Or \((n>1) \Rightarrow (0<\frac{n+1}{2n}<1)\) Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Elle est minorée par 0 (évident) donc elle est convergente.
Mais il est plus compliqué d'obtenir sa limite...
Bonne continuation.
Pour l'exemple concerné on peut remarquer que \(\forall n \in \mathbb{N}\) , \(u_n>0\).
On peut donc définir \(v_n=ln(u_n)=ln(\frac{n}{2^n})=ln(n)-n ln(2)\). Soit \(v_n=n(\frac{ln(n)}{n}-ln(2))\).
On peut obtenir la limite de \(v_n\). \(\lim_{n \to + \infty} v_n=- \infty\).
Et \((v_n=ln(u_n)) \Leftrightarrow (u_n=e^{v_n})\).
Donc \(\lim_{n \to + \infty} u_n=0^{+}\).
Remarque : dans ce cas on peut aussi utiliser le fait que \(\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+1}{2n}\). Or \((n>1) \Rightarrow (0<\frac{n+1}{2n}<1)\) Donc la suite \((u_n)\) est décroissante.
Elle est minorée par 0 (évident) donc elle est convergente.
Mais il est plus compliqué d'obtenir sa limite...
Bonne continuation.
-
François
Re: calcul de limite avec ln
Merci beaucoup.