périmètre et triangle

[Ludovic]

Bonjour,

Soient a, b et c les longueurs des côtés d'un triangle de périmètre 1. Prouver alors l'inégalité :

a^2 + b^2 + c^2 + 4*a*b*c < 1/2

Je vous remercie d'avance de bien vouloir M'AIDER à démontrer cette inégalité, votre expertise me serait bien utile !
J'ai essayé de trouver dans quoi l'expression était comprise en utilisant les formules sur les identités remarquables et le périmètre d'un triangle, mais j'aboutis à un intervalle trop large pour être utile : 7> expression >0 .

PS : remarquez que j'ai employé le mot "aider", cela signifie que je n'attend pas la réponse de votre part. Merci.

[SoS-Math(9)]

Bonjour Ludovic,

Ton problème semble bien compliqué pour un execice de terminale ... Avec quel chapitre est-il en lien ?
Pour pouvoir t'aider il faut que je sache ce que tu as vu en classe !

SoSMath.

[Ludovic]

Ma classe en est aux suites mais j'ai fini le programme de terminale (sans avoir vraiment approfondi les complexes, c'est sans doute la cause de mon problème avec cet exercice). Sinon, je ne sais pas à quelle partie du programme se réfère cet exercice car il vient des olympiades internationales russes 1989.

[SoS-Math(11)]

Bonjour Ludovic,

J'ai regardé ton message, j'ai peut-être une piste : la formule de Héron.

Si \(A\) est l'aire d'un triangle de côtés \(a\), \(b\) et \(c\) de demi-périmètre \(p : p =\frac{a+b+c}{2}\), on a alors : \(A=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\).

A voir, je n'ai pas fait de calculs.

Bon courage

[Ludovic]

Merci.