SOS-MATH

Bonsoir

J'aimerais savoir s'il vous plait comment on calcul la limite d'une suite récurrente ?

Bonjour,

ta question est très vague.

Considérons une suite récurrente d'ordre 1 (c'est à dire qu'un terme n'est défini qu'en fonction du précédent).

Alors le théorème du point fixe permet, si elle est convergente, de déterminer une liste de nombres parmi lesquels se trouve la limite.
Ce théorème ne permet pas de déterminer la limite de la suite si celle-ci ne converge pas.

Si la suite ne converge pas, on peut essayer de montrer qu'elle tend vers \(+\infty\) en raisonnant par l'absurde, et en la considérant comme majorée (raisonnement analogue en \({}-\infty\).

Si la suite ne converge pas, et ne diverge pas vers un infini, on peut essayer de montrer que ses termes sortent d'un intervalle donné à partir de tout rang arbitraire.

Il n'y a pas une méthode simple et adaptable à tous les cas, me semble-t-il.

Bon courage.

Tout d'abord merci pour votre réponse

Alors le théorème du point fixe permet, si elle est convergente, de déterminer une liste de nombres parmi lesquels se trouve la limite.

Comment savoir si une suite est convergente ?

Parmi la liste de nombres, quelle valeur prendre ?

Bonjour Sylvie,

Il y a des théorèmes, par exemple les théorèmes de comparaisons qui te permettent d'affirmer que la suite admet une limite, il y a aussi les théorèmes sur les suites monotones (suite monotone strictement croissante et majorée admet une limite).
Tu peux aussi utiliser une représentation graphique ce qui va te permettre de conjecturer si la suite converge ou diverge, dans le cas où la suite semble converger tu auras une valeur approchée de la limite sur le graphique ce qui te permet de trouver la bonne valeur qui est dans la liste des valeurs possibles.

Bonne continuation

Je vous remercie pour vos réponses

Pourquoi pour utiliser le théorème du point fixe, il est nécessaire que la suite soit convergente ?

Bonjour,
Le "théorème du point fixe", (en fait en maths, le théorème du point fixe est un peu plus compliqué), permet seulement de déterminer les valeurs possibles de la limite de la suite au cas où celle-ci convergerait.
Il ne prouve rien sur la convergence de cette suite.
On peut tout à fait l'utiliser au début d'un raisonnement sur n'importe quelle suite du type \(u_{n+1}=f(u_n)\) mais le "gros du travail" reposera sur la démonstration de la convergence de cette suite.
Est-ce plus clair ?
Bon courage

Excusez moi je ne comprends toujours pas pourquoi ce théorème ne s'applique que pour les suites convergentes et non pas les suites divergentes.

Sylvie,
Il faut bien dissocier ce théorème de la convergence d'une suite :
Ce n'est pas une condition de convergence pour une suite, cela permet juste de déterminer les candidats éventuels pour une valeur de la limite au cas où la suite converge.
Par exemple, si on prend la fonction f définie par \(f(x)=\frac{1}{x}\) et que l'on considère la suite définie par \(u_0=2\) et \(u_{n+1}=\frac{1}{u_n}\)
Notre suite vaut tour à tour 0,5 ou 2 donc elle est divergente.
Par ailleurs la résolution de l'équation \(\ell=f(\ell)\) donne \(\ell^2=1\) donc \(\ell=1\) ou \(\ell=-1\).
Donc on a bien trouvé des candidats à la limite, mais comme la suite est divergente, il n'y a aucun de ces deux candidats qui peut être utilisé.
Donc le théorème s'applique à toute suite de ce type mais il ne présage en rien de la convergence/divergence de la suite.
Est-ce plus clair ?

Donc pour que les candidats du théorème du point fixe soient utiles il faut démontrer que la suite est convergente dans le cas contraire (suite divergente) les candidats du théorème sont inutiles ?

Bonjour
Effectivement une suite qui diverge n'a pas de limite donc la recherche de candidats éventuels est inutile.
Dans pas mal de cas, la recherche préalable de la convergence ou non de la suite permet d'éviter du travail lorsqu'on obtient que celle-ci diverge.
Ceci dit, certaines fois, on peut être amené à déterminer le candidat éventuel \(\ell\) et montrer ensuite que la suite \(v_n=u_n-\ell\) converge vers 0.
Dans un énoncé classique, on vous invite généralement à faire l'un ou l'autre en premier (ordre des questions).
Bon courage