Démonstration

[Hugo]

Bonjour

Pouvez-vous me dire si cette démonstration est correcte svp ?

Théorème : Soit u(n) une suite croissante, si lim u(n)=l, alors tous les termes de la suite u(n) sont inférieurs ou égaux à l.

(Tout d'abord je ne comprends pas pourquoi il y a le mot "égaux" alors qu'une limite ne peut pas être atteinte ?)

Voilà la démo:
Soit u(n) une suite croissante et de limite l.
On Suppose que la Suite n'est pas majorée par l. Il existe alors un entier p tel que u(p)>l.
La suite étant croissante, on a pour tout n>=p , u(n)>=u(p)
L'intervalle ]l-1, u(p)[ contient l donc tous les termes de la suite à partir d'un certain rang. Ce qui est contradiction avec l'inégalité u(n)>=u(p). La supposition faite est donc fausse.

Merci à vous

[SoS-Math(11)]

Bonjour Hugo,

Cela me semble correct, toutefois la limite peut être atteinte par certains termes de la suite.
Par exemple une suite telle que \(u_n = 1\) si \(n=3p\), \(u_n=1-\frac{1}{n}\) si \(n = 3p+1\) et \(u_n=1+\frac{1}{n}\) si \(n=3p+2\).
Sa limite est 1 et il y a une infinité de termes de la suite qui valent 1 !
Bien entendu ce ne sera pas tout à fait pareil pour une suite strictement croissante.

Bonne continuation

[Hugo]

Excusez moi je ne comprend toujours pas le terme "égaux"

[SoS-Math(11)]

Qui a la même valeur, dans mon exemple tous les termes de rangs n multiples de 3 sont égaux à la limite qui est 1.

[Hugo]

Je ne comprends pas votre exemple

[SoS-Math(11)]

C'est tout simple \(u_0=1\); \(u_1=1-\frac{1}{1}=0\) ; \(u_2=1+\frac{1}{2}=1,5\) ; \(u_3=1\); \(u_4=1-\frac{1}{4}=0,75\) ; \(u_5=1+\frac{1}{5}=1,2\) ; \(u_6=1\); \(u_7=1-\frac{1}{7}\) ; \(u_8=1+\frac{1}{8}\) ; ...
La limite est 1 car la limite de \(\frac{1}{n}\) est 1 et pour tous les indices \(n\) multiples de 3 \(u_n=1\) donc la limite est atteinte une infinité de fois.

Bonne continuation

[Hugo]

Mais quelle est l'expression de u(n) ?

[SoS-Math(11)]

Cela n'a pas d'intérêt, on a besoin de congruences qui sont au programme de la spécialité math. Une suite n'est pas obligatoirement définie par une expression.

Par exemple la suite de Syracusse qui est la suite définie par \(u_{n+1}=\frac{u_n}{2}\) si \(u_n\) est divisible par 2 et \(u_{n+1}=3\times u_n +1\) sinon et \(u_0\) quelconque :
Si \(u_0=13\) on a la suite 13, 40 ; 20 ; 10 ; 5 ; 16 ; 8; 4 ; 2 ; 1 ; 4 ; 2 ; 1 on s'arrête à 1 car elle recommence avec les mêmes valeurs.
Il n'y a pas de formule qui définit cette suite.
Cette suite est très étudiée car on ne sait pas prouver que quel que soit le premier terme on arrive toujours à 4 ; 2 ; 1 à la fin.

Bonne continuation

[Hugo]

Je comprends mieux, merci

Mais pour concernant la démonstration,
"Soit u(n) une suite croissante et de limite l.
On Suppose que la Suite n'est pas majorée par l. Il existe alors un entier p tel que u(p)>l."
Ça me semble bizarre car on affirme que la limite de la suite c'est l et qu'elle est croissante et puis en dit qu'il existe un entier p plus grand que l, ça me semble contradictoire

[SoS-Math(11)]

Attention tu es entrain de confondre la limite et l'indice.

Tu supposes qu'il existe un indice \(p\) tel que \(u_p > l\), \(p\) et \(l\) n'ont pas de rapport.

Ensuite comme la suite est croissante pour tout \(n\) supérieur à \(p\) on a \(u_n > l\) ce qui contredit bien que tous les termes de la suite sont dans un intervalle tout petit contenant \(l\) comme \(]l-1 ; u_p[\).

C'est ce que tu as écrit dans ton premier message.

Ta démonstration par l'absurde est donc correcte.

[Hugo]

Je ne comprends pas comment on peut dire que u(p)>l alors qu'on a dit que l était la limite donc rien ne lui ai supérieur

[sos-math(13)]

Bonsoir,

c'est justement le principe de la démonstration par l'absurde : faire une hypothèse qu'on pense fausse, de façon à montrer que, si on la considérait vraie, elle aboutirait à un résultat faux. Ceci implique qu'elle ne peut pas être vraie.

Cependant, tu as dit au début qu'une limite ne pouvait pas être atteinte.
Or, même dans le cas d'une suite croissante, cette affirmation est fausse (elle devient vraie dans le cas d'une suite STRICTEMENT croissante).

Exemple : la suite 1;2;3;3;3;3;3;3... est croissante et atteint sa limite qui vaut 3.

Bon courage.

[Hugo]

J'ai beaucoup de difficulté avec cette démonstration

"Cependant, tu as dit au début qu'une limite ne pouvait pas être atteinte.
Or, même dans le cas d'une suite croissante, cette affirmation est fausse (elle devient vraie dans le cas d'une suite STRICTEMENT croissante)."

Ceci contredit ce qui a été dit dans ce post: http://sgbd.ac-poitiers.fr/sosmath/view ... =9&t=10609

[sos-math(20)]

Bonjour Hugo,

On ne peut pas dire qu'une suite convergente n'atteint JAMAIS sa limite. Pour autant, cela ne veut pas dire non plus que la limite est TOUJOURS atteinte. Il faut être très prudent, et chaque cas est à étudier en détail avant de conclure.

Bonne journée.

SOS-math

[Hugo]

Donc une suite convergente peut atteindre sa limite ?