Suites récurrentes avec 3 rangs

[Patrick]

Bonjour,

J'ai des difficultés à faire cet exercice...

Une suite récurrente est définie par :
\(\qquad u_0=0\), \(u_1=1\) et \(u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\)
1°) Calculer les 12 premiers termes de cette suite.
2°) Démontrer que : \(u_{n+2}=1+u_0+u_1+u_2+...+u_n\)
3°) Démontrer que le carré d'un terme de cette suite, à partir de \(u_2\),
est égal au produit des termes qui l'encadrent augmenté ou diminué de 1, c-a-d que :
\(\qquad(u_i)^2=u_{i+1}\times u_{i-1}-1\qquad\) ou \(\qquad(u_i)^2=u_{i+1}\times u_{i-1}+1\)
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- 1) Voici la liste des 12 premiers termes :
\(u_0=0,\ u_1=1,\ u_2=1,\ u_3=2,\ u_4=3,\ u_5=5,\ u_6=8,\)
\(u_7=13,\ u_8=21,\ u_9=34,\ u_{10}=55,\ u_{11}=89,\ u_{12}=144.\)
- 2) Je conjecture que cette suite est géométrique avec une raison \(q>1\).
Mais, à cause de sa nature à 3 rangs, je ne sais pas calculer sa raison \(q\) à partir de deux termes consécutifs !
\((u_{n+2}=u_{n+1}+u_n\) et \(u_{n+2}=1+u_0+u_1+u_2+...+u_n)\Longrightarrow ?\)

Merci d'avance pour vos indications,
@+

[sos-math(12)]

Bonjour :

Il me semble qu'une suite de terme initial 0 a peu de chance d'être géométrique, sinon tous ses termes seraient nuls.
De plus \(\frac{u_2}{u_1}=1\) et \(\frac{u_3}{u_2}=2\), ce qui n'est pas possible pour une suite géométrique.
La nature du problème semble appeler une démonstration par récurrence.

Bonne continuation.

[Patrick]

Merci pour ta réponse :-)
Je viens de vérifier sur le Web, cette suite c'est celle de Fibonacci.
Il y a bien une page entière sur Wikipedia :
http://fr.wikipedia.org/wiki/Suite_de_Fibonacci
Cette suite a pas mal de propriétés, mais le niveau de l'article... !

@+