arithmétique et suite

[Mathieu]

Bonsoir, j'ai commencé un exercice aujourd'hui et ça fait déjà 1 heure que je suis dessus et la réponse ne vient toujours pas, je compte donc sur vous pour juste me mettre sur une piste :

On considère une suite [U(n)] avec (n) appartient aux entiers naturels telle que :
[U(n)] = 3 * [U(n-1)] + 2 et (n) supérieur ou égal à 1
Prouver qu'il existe une valeur entière de [U(0)] pour laquelle 1988 divise [U(100)] .

J'ai déjà établi une méthode qui consiste à convertir [U(n)] en [U(n+1)] puis à l'aide d'une démonstration inspirée d'un algorithme, d'écrire [U(n)] en fonction de (n).
Une fois cette écriture adoptée, j'ai résolu l'équation U(n) = 1988^(n) [ il faut préciser que l'expression de [U(n)] en fonction de (n) comporte des inconnus de la forme [U(0)], ce qui voudrait dire que résoudre cette équation et donc trouver l'identité des [U(0)] aurait donc clôturer l'exercice ] malheureusement, le résultat obtenu est invraisemblable, je soupçonne que la difficulté de l'exercice réside dans le fait que n > 1 et qu'on nous demande une valeur de [U(0)]. Voilà le fruit des mes 1 heure de recherche, peut-être trouverez-vous ça naïf, auquel cas j'attend vos conseils. MERCI.

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Commence par prouver que la suite définie par \(v_n=u_n+1\), est une suite géométrique de raison 3.
Ensuite tu obtiendras l'expression de \(u_n\) en fonction de n, ce qui te permettra peut-être d'utiliser des théorème de divisibilité.
Bon courage

[mathieu]

Merci, je ne connaissais pas cette méthode de créer une suite, a-t-elle un nom ? ( en tout cas, j'ai ds sur tout le chapitre des suites la semaine prochaine et mon professeur n'a pas mentionné cette technique)

[sos-math(20)]

Bonsoir,

Il s'agit de la famille des suites arithmético-géométriques, mais l'étude générale de ces suites n'est pas au programme de Terminale; cela n'est donc pas étonnant que tu ne les connaisses pas !

A bientôt sur SOS-math