Suites

[Clara]

Bonjour,
Je m'appelle Clara , je suis en terminale S .
J'ai un DM à rendre , voici le sujet:

On considère la suite définie par u0=0 et pour tout entier naturel n par:

Un+1= 1/ 2-Un

1) Calculer les 6 premiers termes de la suite.
2) Est ce que (Un) est Géométrique , Arithmétique ?
3) Conjecturer une expression simple de Un en fonction de n .
4) Montrer cette conjecture en procédant par récurrence sur n .
5) Montrer que (Un) est croissante .

J'ai fait les questions 1, 2 , 3 , 5 .


Pour la question 2 , j'ai trouvé que la suite est ni géométrique ni arithmétique.
Pour la question 3 , j'ai mis :
Un = n/n+1
Pour la question 5 j'ai utilisé la dérivée pour montrer que Un est croissante.
J'ai plus de mal pour la question 4 . J'ai utilisé l'initialisation (n=0) Donc U0=0 , Puis l'hérédité :
Un+1= n+1 / n+2 . Et je suis bloquée . Pouvez vous m'aider ?

Merci .

[sos-math(21)]

Bonjour,
Pour être tranquille sur la définition de la suite, il faudrait d'abord que tu prouves par récurrence que pour tout entier n \(U_n>2\)
Je suis d'accord avec ta conjecture, cela marche sur les premiers termes, il te reste à le prouver par récurrence :
Initialisation ok,
Pour l'hérédité : on suppose qu'il existe un entier n tel que \(U_n=\frac{n}{n+1}\), et ensuite on considère \(U_{n+1}=\frac{1}{2-U_n}=\frac{1}{1-\frac{n}{n+1}}\), en remplaçant U_n par son expression d'après l'hypothèse de récurrence.
Il te reste à faire les calculs pour prouver la propriété au rang n+1.
Pour la croissance, il te suffit de former la différence \(U_{n+1}-U_n\) et de montrer qu'elle est positive.
Quelle fonction as-tu dérivé ?
Bon courage pour la suite
A bientôt sur sos-math

[Clara]

Bonjour,
Merci pour votre réponse .

J'ai pu résoudre les questions 4 et 5 . Pour la 4 je trouve : n+1 / n+2
Pour la 5 , je trouve : 1/ (n+2)(n+1)
Pour la dérivé, j'avais pris f(x)= x/x+1 . Puis j'avais dérivé : f'(x)= 1/(x+2) au carré , et j'avais fait un tableau montrant que la fonction était croissante.

A bientôt , Merci

[SoS-Math(9)]

Bonjour Clara,

Ce que tu as fait est juste !
Par contre pour la question 5, soit tu utilises u(n+1)-u(n) et tu étudies son signe, soit tu utilises f(x) ...
Ce n'est pas utile de prendre les deux méthodes. Tu as choisi f(x) c'est bien !
Cependant l'autre méthode est plus rapide ....
u(n+1)-u(n) = 1/((n+2)(n+1))
Or n >= 0, donc 1/ (n+2)(n+1) > 0, donc u(n+1)-u(n) > 0, (u) est croissante.

SoSMath.

[Clara]

Bonjour,

Merci pour tous les conseils .

À bientôt