Récurrence démonstration

[Aurélien]

Enoncé :
Un+1=(5Un-1)(Un+3) U0=2
Démontrer par récurrence que pour tout n appartient à N (entiers naturels) , on a : Un différent de 1
est ce que vous sauriez résoudre ce problème

Voilà ce que j'ai réussi à faire mais je bloque à l'hérédité :


-Intialistation :
On démontre que la propriété de récurrence est vrai au premier rang
n=0 2est bien différent de 1
U0=2 2 est bien différent de 1

Donc dans les 2 cas on a bien 2 différent donc la propriété est vrai au rang n=0

-Hérédité :
Supposons qu'il existe un entier k tel que K(k) soit vraie, c'est à dire tel que Un différent de 1
Montrons que K(k+1) est vraie, c'est à dire U(n+1) en indice est différent de 1

-Conclusion :
Pour tout n appartient à N on a Un différent de 1

[sos-math(21)]

Bonjour,
je ne comprends pas ta rédaction pour l'initialisation :
au rang n=0 : \(U_0=2\) donc \(U_0\neq 1\) et c'est prouvé au rang 0 : c'est seulement la valeur de \(U_n\) qui doit être différente de 1 pas celle de son rang.
Pour l'hérédité, on suppose qu'il existe un rang n tel que \(P_n:U_n\neq 1"\) soit vraie et on veut montrer que \(P_{n+1}\) est encore vraie.
Comme il n'est jamais facile de raisonner avec des \(\neq\), on raisonne plutôt avec des = :
On forme la différence \(u_{n+1}-1\), on la met sous la forme d'un quotient en utilisant l'expression de \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\).
A quel moment ce quotient peut-il valoir 0 ?.... cela te permettra de conclure (tu dois trouver \(U_{n+1}-1=0\), lorsque \(U_n=1\), comme c'est faux au rang n, c'est faux au rang n+1.
A toi de terminer la rédaction..
Bon courage
A bientôt sur sos-math

[aurélien]

Merci, j'avais trouvé la réponse au début mais celle-ci me paraissait être trop simple pour vraiment convenir.

[Aurélien]

Vous voulez dire que l'on doit calculer les racines de (Un+1) - 1 = 0 et que si ces racines ne sont pas égales à 1, on aura démontrer que la propriété est vraie ? ( pour x = Un )

[Aurélien]

Vous voulez dire que si les racines de Un+1 - 1 ne valent pas 1, la propriété est vraie au rang n+1 ?
Merci bcp

[sos-math(21)]

Re-bonjour,
En calculant, tu dois obtenir que \(U_{n+1}-1=\frac{4(U_n-1)}{u_n+3}\) donc \(U_{n+1}-1=0\) lorsque le numérateur de la fraction qui définit cette différence vaut 0, c'est-à-dire lorsque \(U_n-1=1\). Or Par hypothèse de récurrence \(U_n\neq 1\) donc \(U_{n+1}\neq 1\) aussi.
C'est ce qu'il faut démontrer pour l'hérédité : simplement, il faut travailler avec des égalités pour obtenir l'équivalence \(U_{n+1}-1=0 \Leftrightarrow U_n-1=0\)
Et ensuite conclure la "fausseté" de l'une entraine la "fausseté" de l'autre.
Bon courage pour la rédaction.
A bientôt sur sos-math

[Aurélien]

Excusez-moi , mais je ne comprends pas comment vous pouver trouver U(n+1)-1=(4Un-4)/(Un+3) car en résolvant l'égalité U(n+1)-1=(4Un-4)/(Un+3) je trouve que c'est égale seulement pour une valeur de Un et non pour toute les valeurs de Un : donc ça me trouble .
Moi je trouve U(n+1) -1 = (5Un-1)(Un+3)-1
= 5Un²+15Un-4
Ensuite U(n+1)-1=o si et seulmeent si 5Un²15Un-4=0
si et seulement si (Un+1.4+((racine carré de 69)/(5))) * (Un+1.4-((racine carré de 69) /(5)))
ensuite il faudrait transformer çà pour faire apparaitre U(n+1) ds le numérateur d'un quotient
mais je n'arrive point à le faire

[SoS-Math(9)]

Bonjour Aurélien,

Tout d'abord dans l'énoncé, as-tu \(u_{n+1}=(5u_n-1)(u_n+3)\) ou \(u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}\) ?

SoSMath.

[Aurélien]

Bonjour dans mon énoncé j'ai le produit

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Aurélien,

Donc si tu as un produit c'est ton résultat qui est bon ... enfin presque !
U(n+1) -1 = (5Un-1)(Un+3)-1
= 5Un²+14Un-4.

Cependant avec le produit il est plus simple de montrer par récurrence que Un > 1 (donc il est différent de 1 !)
Initialisation : ....
Hérédité :
Par hypothèse de récurrence \(u_n > 1\) donc \(5u_n -1 > 4\) et \(u_n+3> 4\)
donc \((5u_n -1)(u_n+3) > 4\times 4 = 16\) et 16 > 1 donc \(u_{n+1} > 1\)
...

A toi de terminer,
SoSMath.

[Aurélien]

Merci c'était vraiment simple en fait, ah il faut juste du bon sens, et de la créativité, merci

[sos-math(20)]

A bientôt sur SOS-math, Aurélien.