Divisibilité

[Agnès]

Bonjour, je bloque à un exercice pouvez vous m'aider. Voici l'énoncé :
On considère le nombre A=n(n+1)(n+2)
Démontrer que A est divisible par 2.
J'ai fait l'initialisation avec n=1 ce qui nous donne A1=2. La propriété est vrai au rang 1.
Hérédité : Il existe un entier p tel que k(k+1)(k+2)=2p
Donc j'ai ensuite fait : Ak+1=(k+1)(k+2)(k+3)
A partir d'ici j'aimerai pouvoir remplacer des termes de la propriété par 2p mais je ne parviens pas à faire apparaître un k devant (k+1)(k+2).
Comment faire svp ? Je vous remercie d'avance.

[sos-math(22)]

Bonsoir,
Il n'est pas nécessaire de raisonner par récurrence ici. k et k+1 (par exemple) sont deux entiers consécutifs. L'un des deux est donc un nombre pair. A toi de terminer la raisonnement.
Bonne continuation.

[Agnès]

Ah oui ! En effet je n'avais pas pensé à utiliser ce type de raisonnement merci !
J'en profite également pour vous poser une seconde question. Nous avons fait un exercice en classe : Déterminer l'ensemble des entiers naturels n tels que 2n+9 divise n+11.
Nous avons répondu :
2n+9 divise n+11
2n+9 divise 2n+9
donc d'après la propriété de combinaisons linéaires nous avons déduit que 2n+9 divise 2(n+11)-(2n+9) puis nous avons finit le calcul. Je ne comprends pas d'où viennent le 2 et le -1 placées devant n+11 et 2n+9 même en m'appuyant sur la propriété. Pouvez-vous m'expliquer ?

[sos-math(22)]

Oui, ce n'est pas trop difficile :

2n+9 divise n+11
2n+9 divise 2n+9

donc

2(2n+9) divise 2(n+11)
2n+9 divise 2n+9

d'où

2(2n+9)-(2n+9) divise 2(n+11)-(2n+9)

Si tu ne comprends ces explications, pour plus de détails, tâche de revenir à la définition de la division euclidienne.

Bonne continuation.

[Agnès]

J ai compris merci bcp !