Les suites géométriques

[Laura TS]

Bonjour,

J'ai un exercice à faire pour vendredi et j'éprouve des difficultés... J'aimerais bénéficier de votre aide afin de m'en sortir.

Cela va comme suit:

On considère la suite (Un)définie par : U0=0 et Un+1= (2Un+3)/(Un+4)
a)On pose Vn= (Un-1)/(Un+3)
Montrez que la suite (Vn) est géométrique.

b)Exprimez Vn puis Un en fonction de n.

c)Détérminez la limite de (Vn), puis celle de (Un).

Voilà. Merci d'avance !

[SoS-Math(11)]

Bonjour Laura,

Qu'as-tu déjà fait ?
Bloques-tu à la première question ?

Pour commencer détermine la formule de \(v_{n+1}\) en remplaçant \(u_n\) par \(u_{n+1}\) dans la formule qui défini \(v_n\).
Ensuite remplace \(u_{n+1}\) par \(\frac{2u_n+3}{u_n+4}\).
Réduis au même dénominateur, simplifie et tu dois arriver à une formule du type : \(v_{n+1}=q\times v_n\).

Bonne continuation

[Laura TS]

Merci de l'aide pour la 1) !
Mais, moi je n'arrive strictement pas, a exprimer en fonction de quelque chose.
Avez vous des pistes ?
Merci d'avance.

[SoS-Math(11)]

"Exprimer en fonction de" signifie simplement d'établir une formule.
Ici tu dois simplifier \(\frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}\).

Pense que :\(1=\frac{u_n+4}{u_n+4}\) pour réduire au même dénominateur puis simplifier le numérateur.
Remplace de même le 3 du dénominateur pour le simplifier.

Ensuite il te restera une fraction du type \(\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{b}}\) que tu sais simplifier pour obtenir une fraction simple
.
Tu auras un facteur commun au dénominateur et tu dois retrouver finalement \(v_n\) multiplié par une fraction.

Bon courage pour les calculs.

[SoS-Math(11)]

Attention j'ai écrit \(\frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}\) au lieu de \(\frac{\frac{2u_n+3}{u_n+4}-1}{\frac{2u_n+3}{u_n+4}+3}.\). Je n'avais pas relu la définition de \(v_n=\frac{u_n-1}{u_n+3}\).
Cela ne change rien à la méthode de calcul et au résultat que tu dois trouver, mille excuses.

Bon courage