SOS-MATH

Bonjour j'aimerais avoir de l'aide pour ces deux récurrences (juste pour l'hérédité) :

a) Soit u la suite définie par u1=u2=4 et pour tout n supérieur ou égal à 3, u(n)=u(n-1)+u(n-2). Montrer que pour tout n de N*, u(n) est supérieur ou égal à 2n

b) Soit n entier . Montrer qu'il existe (a(n), b(n)) e N² tel que n=5a(n)+b(n) et a(n) inférieur ou égal à 4.

j'ai fait :

a) j'ai exprimé la suite en fonction de u(n+1) soit : u(n+1)=u(n)+u(n-1) et du coup dans lhrédité je dois montrer que u(n+1) est supérieur à 2(n+1) mais comment ?

b) je dois montrer qu'il existe (a(n+1),b(n+1)) tel que n=5a(n+1)+b(n+1)) mais je suis bloquée pour la suite

merci de m'aider

Bonjour,
Pour le premier, il faut faire une récurrence sur deux rangs
initalisation : n=1 et n=2 c'est bon
On suppose ensuite qu'on a un entier n supérieur ou égal à trois tel que \(u_{n-1}\geq 2(n-1)\) et \(u_n\geq\2n\)
on a alors \(u_{n+1}=u_n+u_{n-1}\) donc \(u_{n+1}\geq 2n+2(n-1)\) en appliquant l'hypothèse de récurrence.
donc \(u_{n+1}\geq 4n-2\), en développant. Il reste à voir si \(4n-2\geq 2(n+1)\), si cela marche c'est gagné l'hypthèse est vérifiée aux rangs n et n+1 : on a l'hérédité.
A toi de résoudre l'inéquation \(4n-2\geq 2(n+1)\), ce n'est pas trop dur.
Pour la deuxième, il s'agit de trouver deux entiers dont u qui est toujours inférieur ou égal à 4.
Pour l'hérédité, il faut distinguer deux cas :
si \(a_n<4\), alors on pose \(a_{n+1}=\ldots\), \(b_{n+1}=\dots\)
si \(a_n=4\) alors on pose \(a_{n+1}=\ldots\), \(b_{n+1}=\dots\)
Je te laisse réfléchir
Bon courage
A bientôt sur sos-math

Bonjour,

si n est inférieur à 4, alors on pose a_(n+1)=1/5(n+1-b_(n+1)) et b_(n+1)=n+1-5a_(n+1)

Bonjour,
cela me parait bien compliqué, je te donne ma version des choses :
si on est à un rang n tel que \(n=5a_n+b_n\), avec \(a_n\leq 4\),
alors \(n+1=5a_n+b_n+1\)
en posant \(a_{n+1}=a_n\) et \(b_{n+1}=b_n+1\), on a la décomposition demandée et l'existence est prouvée au rang n+1....
Je ne suis pas sûr de ma réponse car l'énoncé me semble bizarre. Es-tu sûr(e) de ton énoncé ?
Bon courage

Bonjour, oui l'énoncé est correct. Je vais demander conseil à mon professeur et je vous ferai part de sa réponse