SOS-MATH

Bonjour à tous; j'aomerais avoir de l'aide ici :)
Pour se rendre au travail, Mme T. prend le bus en face de chez elle. Elle a le choix
entre celui de la ligne A et celui de la ligne B. Le premier jour, elle choisit un bus au hasard. Les jours suivants, elle prend le même bus que la veille si celui-ci lui a permis d’arriver à l’heure au bureau la veille, sinon, elle en change. La probabilité que Mme T. arrive à l’heure par la ligne A est a et par la ligne B est b.
Nous noterons Ak l’évènement "Le kième jour, Mme T. prend le bus A".
1. Montrer que pour tout k dans N; P(Ak+1) = (a + b - 1)P(Ak) + 1 - b.
2. Déterminer alors P(An) en fonction de n.
3. Calculer la probabilité pn que Mme T. arrive à l’heure le nième jour.
4. Quelle est la limite de la suite (pn) ?

j'ai fait un arbre : 2 premières branches A et B de probas respectives 1/2 puis deux aurtes branches partant de A avec pour proba a et 1-a et idem pour B avec pour probas b et 1-b. Malgré ça je ne parviens pas à démontrer l'égalité de la question a).

merci !

Bonjour,
Le problème est un peu plus difficile que cela :
On recherche \(P(A_{k+1})\), c'est à dire la probabilité qu'elle prenne le bus A le jour k+1.
Cet événement est réalisé lorsque :
- soit elle a pris le bus A le jour k (la veille) et il est arrivé à l'heure ;
- soit elle a pris le bus B le jour k et il est arrivé en retard ;
Si on note H l'événement "elle arrive à l'heure", et \(B_k\), l'événement "elle prend le bus B le jour k", alors on a
\(A_{k+1}=\left(A_k\cap H\right)\cup\left(B_k\cap \bar{H}\right)\)
Cette union étant disjointe (événements incompatibles), on a en passant aux probabilités :
\(P(A_{k+1})=P\left(A_k\cap H\right)+P\left(B_k\cap \bar{H}\right)\)
En passant ensuite aux probabilités conditionnelles :
\(P(A_{k+1})=P(A_k)\times P_{Ak}(H)+P(B_k)\times P_{B_k}\left( \bar{H}\right)\)
On a ensuite : \(P_{Ak}(H)=a\), \(P(B_k)=1-P(A_k)\) (car le jour k, on prend soit le A soit le B, donc \(B_k=\bar{A_k}\)) et \(P_{B_k}\left( \bar{H}\right)=1-b\)
Je te laisse faire les calculs pour obtenir la première question.
Pour la question suivante, la relation que tu as obtenue en 1 te montre que la suite \((P(A_k))_{k\geq 1}\) est une suite arithmético géométrique : cela dépasse le programme de terminale. D'ailleurs, est-ce bien un exercice de terminale ?
Si tu ne sais pas faire la suite, renvoie moi un message pour que je t'aide.
Bon courage
A bientôt sur sos math

c'est un exo entre terminale et le supérieur oui...

donc :

a) P(Ak+1)=P(Ak)a+(1-P(Ak)(1-b) mais que vaut p(Ak) ?

b) ok je vois comment faire j'appliquer les différentes formules relatives aux suites arithmético-géométriques

c) en fait il faut calculer la proba qu'elle est pris le bus A le jour k etet qu'il est arrivé à l'heure non ? mais comment faire ?

merci

Bonsoir,
P(A_k) est justement l'inconnue donc tu ne la connais pas !
On te demande une relation où il y a du \(P(A_k)\) et du \(P_{A_{k+1}}\) : c'est une relation de récurrence qui est recherchée et c'est bien ce qu'on te demande de trouver dans la question 1
Une fois que tu as obtenu :
\(P(A_{k+1}) = (a + b - 1)P(A_k) + 1 - b.\), en notant \(a_k=P(A_k)\), tu as
\(a_{k+1}=(a+b-1)a_k+1-b\), ce qui est bien la forme d'une suite arithmético-géométrique :
1) il faut trouver le point fixe \(\ell\), en résolvant l'équation : \(\ell=(a+b-1)\ell+1-b\)
2) la suite \((b_k)\) définie par \(b_k=a_k-\ell\) est une suite géométrique (à prouver ) de raison \(a+b-1\), tu pourras donc obtenir l'expression de \(b_n\) en fonction de n
Tu en déduiras l'expression de \(a_n(=p_n\) dans ton énoncé) en fonction de n et tu pourras en déduire la limite de cette suite.
Bon courage, ce n'est pas un exercice facile et ce n'est pas du niveau de terminale
A bientôt sur sos math

ok :

l=(a+b-1)l+1-b beaucoup d'inconnues pour une seule équation non ? ;)

de plus , l'expression de bn me semble difficile à trouver pourriez vous me donner un peu plus d'indications ? merci beaucoup !

Re-bonsoir
L'équation a pour inconnue \(\ell\) : les autres lettres désignent des paramètres et ne sont pas des inconnues.
donc on a en passant tous les \(\ell\) à gauche : \(\ell(1-(a+b-1))=1-b\), il te reste à réduire la parenthèse et à diviser...
Normalement si c'est bien fait, en posant \(b_{n+1}=a_{n+1}-\ell\), tu dois avoir \(b_{n+1}=(a+b-1)b_n\), ce qui prouve que \((b_n)\) est géométrique de raison (a+b-1) donc pour tout n, on a \(b_n=(a+b-1)^{n-1}\times b_1\), puis on retrouve \(a_n\)...
Je sais, c'est compliqué mais je ne vois pas d'autres méthodes et je persiste en disant que cet exercice est bien compliqué pour des terminales.
Bon courage pour la suite

ok d'accord je comprends mieux avec votre explication
et donc pour la derni_re question la limite de (bn) est ...en fait ce sont les a et b qui me gènent pour déterminer cette limite

Manon,
Ta limite dépend de a et de b, tu auras \(a_n-\ell=(a+b-1)^{n-1}\times(a_1-\ell)\)
En faisant tendre n vers \(+\infty\), comme a et b sont deux probabilités, alors\(a\leq 1\) et \(b\leq 1\), donc \(a+b\leq 2\) et \(a+b-1\leq 1\)
si \(a+b-1=1\), alors la suite est constante et \(a_n=a_1\) pour tout n,
si \(a+b-1<1\), alors \((a+b-1)^{n-1}\to 0\) donc \(a_n\to \ell\)
Bonne nuit