SOS-MATH

Bonjour, j'ai reçu il y a peu un DM à faire et à rendre mercredi. Le premier exercice était sur les probabilités et les suites et m'a semblé très simple (fait en 20 minutes à peine).
Le second est sur les intégrales, chapitre que nous venons tout juste d'aborder et contient des questions qui apparemment donnent du fil à retordre aux gens de ma classe (qui sont pour la plupart des intellos). J'ai fait le début qui était assez simple.

Je recopie donc l'énoncé et sollicite un petit coup de pouce parce que j'ai beaucoup de devoirs et que je glande pas mal avec ma copine ce qui me fait prendre du retard :/ (je précise que j'habite en Nouvelle-Calédonie et que les horaires ainsi que l'année scolaire sont décalés).

Soit f la fonction définie sur [0;+inf[ par f(x)=e^-x^2 et K=intégrale de f(x)dx

1)Justifier que f est décroissante sur [0;+inf[ donc là j'ai fait un tableau de variations et j'ai aussi mis que les fonctions de cette forme étaient décroissantes sur cette intervalle.

2)a Calculer f(0) et f(1). f(0)=1 et f(1)=e^-1 ou 1/e
b Déterminer la limite de f en +inf et donner l'allure de la courbe C représentant f sur [0 ; +inf[ Là j'ai fait une figure dégueulasse et j'ai mis que la limite était égale à 0.

3) a) Justifier géométriquement que 1>K>e^-1 (pas strictement) là j'ai colorié les rectangles et ça se voit.
b) Justifier cet encadrement par une propriété. Bon je me suis arrêté là parce qu'il est tard et que j'avais d'autres trucs à faire (physique et spé maths en mode rush) j'imagine que c'est assez facile mais là j'ai buggé, genre intégrale conserve l'ordre ou calculer enfin bon là je m'endors donc je verrai demain mais n'hésitez pas à m'expliquer comment ben rédiger parce que j'ai tendance à y aller un peu alawalaigaine boustoufly.

4) a Montrer que sur [0;1[ e^-x<f(x)<1 (pas strictement)
b En déduire que 1-e^-1<K<1

5) Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Dans ce qui va suivre il n'y aucune inégalités strictes.
Montrer que pour tout k entier tek que 0<k<n-1, (1/n)f((k+1)/n)<intégrale de k/n à (k+1)/n f(x)dx<(1/n)f(k/n) C'est mignon mais là je vois pas trop ce que ça représente je crois que je vais m'endormir sur mon clavier. Les maths moi ça me berce.

b Interpréter graphiquement cet encadrement. Ca c'est cool pasken général j'adore interpréter des trucs. Mettez-moi sur la voie svp ça me ferait très plaisir.

c Soit un=1/n SIGMA k=0 jusque n f(k/n)

Montrer que pour n>2, un-1/n<K<un-1/ne (rien strictement) Là je suis au pays des rêves merveilleux. On dirait de l'hébreu ou de l'araméen.

d Comment choisir n pour obtenir un encadrement de K d'amplitude au plus 10^-4. hmhm bonne question *baille*

e Ecrire un algorithme qui affiche un tel encadrement de K. /suicide

Meri d'avance :)

Bonjour,
tout d'abord une première remarque sur la forme de ton message : n'oublie pas que tu es sur un forum où interviennent des enseignants en exercice et que l'expression écrite doit être correcte (on évite le langage sms et les mots familiers, ainsi que les états d'âme....)

Pour le début de ton exercice, tu dois calculer la dérivée de ta fonction, tu dois avoir \(f^,(x)=-2xe^{-x^2}\) qui est négatif sur \([0\,;\,+\infty[\)
donc la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle.
Pour la limite en \(+\infty\), tu sais que \(\lim_{x\to+\infty}-x^2=-\infty\) donc comme \(\lim_{x\to-\infty} e^{x}=0\), on a en prenant l'exponentielle :
\(\lim_{x\to +\infty}e^{-x^2}=0\)
Pour l'encadrement tu sais que ta fonction est décroissante sur \([0\,;\,1]\) donc pour tout x de cet intervalle : on a \(f(1)\leq f(x)\leq f(0)\)
donc \(\frac{1}{e}\leq f(x)\leq 1\)
donc en passant à l'intégrale qui est une opération croissante, on a
\(\int_{0}^{1}\frac{1}{e}dx\leq \int_{0}^{1}f(x)dx\leq \int_{0}^{1}1dx\) soi en calculant : \(\frac{1}{e}\leq K\leq 1\)
Pour la question 4,
sur l'intervalle \([0\,;\,1]\), on a \(x\geq x^2\) (cela se fait en considérant la différence \(x-x^2=x(x-1)\) et en faisant un tableau de signes ;
de plus on a \(0\leq x^2\leq x\).
en multipliant par -1, l'ordre de cet encadrement est inversé donc on a \({-x}\leq -x^2\leq 0\), on peut appliquer l'exponentielle à cette inégalité : la fonction exponentielle étant strictement croissante, elle conserve l'ordre des inégalités donc :
\(e^{-x}\leq e^{-x^2}\leq e^0(=1)\) donc on a bien l'inégalité demandée
Pour le b, il suffit de prendre les intégrales entre 0 et 1 de cette inégalité et de calculer : je te laisse faire.
Pour la suite, on travaille sur un intervalle \([\frac{k}{n}\,;\,\frac{k+1}{n}\) comme \(0\leq k \leq n-1\), cet intervalle est inclus dans \([0\,;\,1]\)
donc la fonction est décroissante sur cet intervalle donc si on prend x dans cet intervalle on a \(\frac{k}{n}\leq x\frac{k+1}{n}\) donc en appliquant la fonction f, on a :
\(f(\frac{k+1}{n})\leq f(x)\leq f(\frac{k}{n})\) puis on passe à l'intégrale entre \(\frac{k}{n}\) et \(\frac{k+1}{n}\) sur cette inégalité.
Je te laisse faire le calcule.
L'objectif étant de connaitre un encadrement de l'intégrale de f sur cet intervalle.
Ensuite, ces intervalles "saucissonnant" tout l'intervalle [0;1], on fait la somme de ces inégalités pour obtenir un encadrement de l'intégrale de f sur [0;1].
Je te laisse terminer
Bon courage