Bonjour,
Pouvez vous me dire ce qu'il y a à savoir sur le théorème de Moivre Laplace pour le bac
Par exemple, faut-il savoir que pour un n très grand la loi binomiale de parametre n et p tend vers la loi normale N(np,np(1-p)) ? A quoi sert exactement ce théorème (je vous pose la question car je l.ai vu en cours mais je ne l'ai jamais appliqué...)?
Merci
Theoreme de Moivre Laplace
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SoS-Math(11)
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Re: Theoreme de Moivre Laplace
Bonsoir Jules,
Cela permet de remplacer une loi binomiale par une loi normale quand trois conditions sont vérifiées : \(n\geq 30\) ; \(np\geq 5\) et \(n(1-p)\geq 5\).
Comme la loi binomiale a pour espérance \(np\) et pour écart-type \(\sqrt{np(1-p)}\) on la remplace par la loi normale de moyenne \(\mu = np\) et pour écart-type \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\).
On travaille souvent sur la fréquence de la variable en divisant tout par \(n\) pour avoir une loi normale de moyenne \(p\) et d'écart-type \(\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
On applique le théorème à chaque fois qu'il faut un intervalle de fluctuation (à 95% ou 99%) qui sera donné par la loi normale et non pas par la loi binomiale, souvent sans le préciser, on vérifie les trois conditions et on dit que l'on peut utiliser une loi normale et on donne l'intervalle.
On utilise alors l'intervalle \(I=[p-1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p+1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]\) où \(1,96\) correspond à \(P(-u_\alpha < X < u_\alpha)\) pour \(\alpha = 0,05\) c'est à dire que \(P(-1,96 < X < 1,96) = 0,95\) pour \(X\) qui suit la loi normale centrée réduite.
Bonne continuation
Cela permet de remplacer une loi binomiale par une loi normale quand trois conditions sont vérifiées : \(n\geq 30\) ; \(np\geq 5\) et \(n(1-p)\geq 5\).
Comme la loi binomiale a pour espérance \(np\) et pour écart-type \(\sqrt{np(1-p)}\) on la remplace par la loi normale de moyenne \(\mu = np\) et pour écart-type \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\).
On travaille souvent sur la fréquence de la variable en divisant tout par \(n\) pour avoir une loi normale de moyenne \(p\) et d'écart-type \(\sigma = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}\)
On applique le théorème à chaque fois qu'il faut un intervalle de fluctuation (à 95% ou 99%) qui sera donné par la loi normale et non pas par la loi binomiale, souvent sans le préciser, on vérifie les trois conditions et on dit que l'on peut utiliser une loi normale et on donne l'intervalle.
On utilise alors l'intervalle \(I=[p-1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} ; p+1,96\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}]\) où \(1,96\) correspond à \(P(-u_\alpha < X < u_\alpha)\) pour \(\alpha = 0,05\) c'est à dire que \(P(-1,96 < X < 1,96) = 0,95\) pour \(X\) qui suit la loi normale centrée réduite.
Bonne continuation
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Jules
Re: Theoreme de Moivre Laplace
Merci beaucoup!