SOS-MATH

Bonjour,
J'ai un problème : on appelle la fonction f(x)=(1/4)xe^(-x/2)
Et F(x)=\(\int_{0}^{x}f(t)dt\)
Et on me demande de montrer que F=G avec G(x)=1-e^(-x/2)-(x/2)e^(-x/2)
Comment faire? Je ne peux pas calculer une primitive de f!

Bonsoir,
On sait qu'une primitive d'une fonction est définie à une constante près. Cependant, dès qu'on donne une condition sur la valeur prise en un point, on définit de manière unique cette primitive.
Par définition, la fonction définie par une intégrale : \(F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\) est la primitive de f telle que F(0)=0 (en effet \(F(0)=\int_{0}^{0}f(t)dt=0\)).
Donc pour montrer que F=G, il n'y a pas à se lancer dans des calculs de primitives complexes, il suffit de :
- dériver G et constater que G'(x)=f(x), ce qui prouvera que G est une primitive de f ;
- vérifier que G(0)=F(0)=0, ce qui prouvera que ces deux primitives coïncident et sont donc égales.
Bon courage

Merci beaucoup!

Bonne soirée et à bientôt sur SOS-math