Devoir maison probabilités

[Kyle]

Bonsoir !
ABC est un triangle équilatéral de côté a, a > 0.
A tout réel x de l'intervalle [0 ; a] choisi au hasard, on associe le point M du segment [AB] tel que AM = x

1. Calculer l'aire A(x) du triangle AMC.
2. Calculer la probabilité de l'évènement "l'aire du triangle AMC est inférieure ou égale à 0,25 unités d'aire"

Merci de votre aide :)

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Je t'envoie un schéma afin que tu aies une vision des choses :

Pour calculer l'aire de AMC, tu as besoin de la hauteur CH de ton triangle : \(\mathcal{A}(AMC)=\frac{AM\times HC}{2}\).
H est le milieu de [AB], car dans un triangle équilatéral, la hauteur est aussi médiatrice donc \(HA=\frac{a}{2}\).
Cela doit te permettre de calculer HC : le théorème de Pythagore dans le triangle AHC rectangle en H.
Tu trouveras une expression de HC qui dépendra de a.
Bon courage

[Kyle]

Je trouve HC = 3a²/4. Est-ce bon ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Il faut prendre la racine carrée : \(HC=\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
Bon courage.

[Kyle]

Ce qui me donnerait (x*a\(\sqrt{3}\)/2)/2 ?

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Cela donne en effet ce que tu dis, on peut arranger cela : \(\frac{ax\sqrt{3}}{4}\)
Bonne soirée.

[Kyle]

Merci à vous ! La 2ème question fait référence à des "unités d'aire", donc je suppose que je dois utiliser les intégrales, or je ne vois pas comment...:/

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Pour moi cette question n'est pas claire.
Je vais tâcher d'y répondre mais je ne suis pas sûr de ce qui est attendu.
Ce qui est tiré au hasard est le nombre x dans l'intervalle [0,a], Il faut donc résoudre l'inéquation \(A(x)<0,25\) soit en résolvant : \(x\leq \frac{1}{a\sqrt{3}}\) (je te laisse vérifier)
Ce qui signifie que cela arrivera avec une probabilité égale à \(\frac{AM}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}\div a=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Voilà pour ma vision des choses. En tout cas, ce n'est pas parce que l'on parle d'unité d'aire qu'il y a nécessairement des intégrales : c'est une façon de parler des aires sans préciser en quelles "unité" on parlait (mètres, centimètres, carreaux, ...)
Bon courage

[Kyle]

Merci de votre aide ! :)

[sos-math(21)]

Bon courage pour la suite,
A bientôt sur sos-math

[lucas]

Bonsoir,
Pour moi cette question n'est pas claire.
Je vais tâcher d'y répondre mais je ne suis pas sûr de ce qui est attendu.
Ce qui est tiré au hasard est le nombre x dans l'intervalle [0,a], Il faut donc résoudre l'inéquation \(A(x)<0,25\) soit en résolvant : \(x\leq \frac{1}{a\sqrt{3}}\) (je te laisse vérifier)
Ce qui signifie que cela arrivera avec une probabilité égale à \(\frac{AM}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}\div a=\frac{1}{\sqrt{3}}\).
Voilà pour ma vision des choses. En tout cas, ce n'est pas parce que l'on parle d'unité d'aire qu'il y a nécessairement des intégrales : c'est une façon de parler des aires sans préciser en quelles "unité" on parlait (mètres, centimètres, carreaux, ...)
Bon courage

Je crois que vous avez faux car si x<1/asqrt{3} alors cela suit une loi uniforme dont la probabilité serait (1/asqrt{3})/a ce qui ferait 1/a^2sqrt{3}

[sos-math(27)]

Bonsoir Lucas,
Je n'ai pas recherché précisément cet exercice datant de 2013 ...
As tu besoin d'autres précisions, car il est possible que je fasse une erreur !

Merci en tout cas de le signaler. A bientôt