SOS-MATH

Bonjou,
Dans un exo, je n'arrive pas à lever une indétermination

f(x)=\(e^{-x}*ln(1+e^{x})\)

Je dois calculer la limite de f en \({-\infty}\) et en \({+\infty}\)
Comment faire?

Merci

Bonsoir :

Tu as pour chacune des limites une forme indéterminée de la forme \(0 \times \infty\).
Pour lever ces indétermination tu peux essayer un changement de variable \(t=e^x\).
Bonne continuation.

bonsoir,
Je ne comprends pas vraiment comment un changement de variable peut m'aider pour la limite en \({-\infty}\)?

Bonjour :

Pour que je puisse t'aider de manière constructive (traduction : sans te donner directement la réponse), il faudrait que tu me donnes tes éléments de démarche.
Par exemple :
quelle expression obtiens tu après le changement de variable ?
où se situe maintenant la difficulté ?

Bonne continuation.

Bonjour,
Après le changement de variable, j'obtiens :
\(\lim_{t \to +\infty}\frac{ln(1+t)}{t}\)
il s'agit toujours d'une forme indéterminée de la forme \(\frac{\infty}{\infty}\), je n'ai pas de fonction de la forme ln(x)/x...

Bonjour :

une manière de s'en sortir est d'écrire que \(1+t=t \times (\frac{1}{t}+1)\).

Bonne continuation.

Merci ! Je ne connaissais pas du tout cette méthode de factoriser à l'intérieur des parenthèses du ln,

Donc cela donne si je ne me trompe pas \({+\infty}\) pour les deux limites?

Bonsoir Arnaud,

Tu peux abandonner tes limites infinies, ni l'une ni l'autre ne sont infinies !

Partant de \(ln(t(\frac{1}{t}+1)\) tu obtiens \(ln(t)+ln(\frac{1}{t}+1)\) et pour étudier ta limite tu dois chercher la limite en plus l'infini de \(\frac{ln(t)}{t}\) et de \(\frac{ln(\frac{1}{t} +1)}{t}\).
Vérifie dans ton cours et conclus.

Attention si \(x\) tend vers \({-\infty}\) alors \(t=e^x\) tend vers 0 tu dois donc chercher \(\lim_{t \to 0^+}\frac{ln(1+t)}{t}\).
Pense à la définition de la dérivée de\(ln(x)\) en \(x = 1\) : \(\lim_{h \to 0}\frac{ln(1+h)-ln(1)}{h}\).

Bon courage pour reprendre tes calculs.

Donc pour la limite en \({-\infty}\), il s'agit de 1, et en \({+\infty}\) il s'agit 0...

Ok, bon week-end