Suite, intégrale et trigonométrie

[eleve16]

Mon énoncé est le suivant : Pour tout entier naturel n, on pose Un = intégrale entre 0 et pie/3 de ( sin^n x / cos x ) dx
1. Calculer U1
Je trouve que F(x) = - ln(cosx) + k
U1 = - ln (1/2)
2. Calculer l'intégrale entre 0 et pie/3 de (sin^n * cos x )dx
Je suis bloqué à cette question, pouvez-vous m'aiguiller ?
cordialement

[sos-math(21)]

Bonsoir,
On doit calculer \(\int_{0}^{\frac{\pi}{3}}\sin^{n}(x)\times \cos(x)dx\), il s'agit de trouver une primitive de \(f(x)=\sin^{n}(x)\times \cos(x)\), comme la dérivée de \(x\mapsto \sin(x)\) est égale à \(\cos(x)\), on a donc \(f(x)=u^{,}(x)\times u^{n}(x)\), donc c'est lié à la dérivée de \(u^{n+1}\), c'est même plus précisément \(\left(\frac{u^{n+1}}{n+1}\right)^{,}=u^{,}(x)\times u^{n}(x)\), je te laisse terminer en prenant \(u(x)=\sin(x)\), tu trouveras une primitive et donc tu pourras calculer cette intégrale.
Bon courage,
A bientôt sur sos-math

[eleve16]

Le résultat de (u^n+1/n+1)' = ((n*sin^n+1)(cos-1))/n+1
Ce résultat est-il juste ?
Cordialement

[sos-math(21)]

Bonsoir,
Non ce résultat n'est pas correct :
\(\left(\frac{\sin^{n+1}(x)}{n+1}\right)^{,}=(n+1)\times (\sin(x))^{,}\times\frac{\sin^{n}(x)}{n+1}=\cos(x)\times\sin^{n}(x)\)
Bon courage pour la suite.