Exo suites

[Inès]

Bonjour,

Merci beaucoup pour ces explications qui m'aident.
J'ai réussi à trouver l'équivalent !

Par contre je bloque encore à la dernière question...

Par quoi majorer ? Et ensuite une fois qu'on a la majoration que peut-on faire ?

Merci beaucoup, je suis censée rendre ce travail demain....

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta suite $(u_n)$ est croissante donc elle est minorée par son premier terme : $u_n\geqslant u_0$ pour tout entier $n\geqslant 0$ donc pour tout entier $n$, tu as $\dfrac{1}{2^nu_n}\leqslant \dfrac{1}{2^nu_0}$ qui est le terme général d'une série convergente (série géométrique) donc d'après les propriété de comparaison des séries : http://uel.unisciel.fr/mathematiques/se ... re_09.html, tu obtiens que ta série de terme général $\dfrac{1}{2^nu_n}$ est convergente.
Bonne conclusion

[Inès]

Merci beaucoup !

Et j'ai une toute dernière question : pour la 3.b vous m'aviez dit de faire des encadrements successifs. C'est ce que j'ai fait mais en fait je me suis trompée, je n'arrive pas à trouver le résultat demandé par la question...

Est-ce que vous pourriez m'aider une dernière fois s'il vous plaît ?

Merci encore.

[sos-math(21)]

Bonjour,
j'ai quand même l'impression d'avoir fait tout l'exercice....
Je t'ai dit d'exprimer les inégalités que tu avais déjà obtenues :
$v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}$ d'après la relation du ln
tu écris ces relations aux rangs :
$v_{n+p}-v_{n+p-1}=\dfrac{1}{2^{n+p}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}}\dfrac{1}{u_{n+p-1}}\leqslant \dfrac{1}{2^{n+p}} \dfrac{1}{u_n}$ car ta suite $(u_n)$ est croissante
puis la suivante....
jusqu'à $v_{n+1}-v_n=\dfrac{1}{2^{n+1}}\ln\left(1+\dfrac{1}{u_n}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^{n+1}}\dfrac{1}{u_n}$
il y a des simplification dans le membre du milieu et tu obtiens $v_{n+p}-v_n$
À droite, tu as : $\left(\dfrac{1}{2^{n+p}}+....+\dfrac{1}{2^{n+1}}\right)\dfrac{1}{u_n}$ c'est la somme des termes d'une suite géométrique que tu sais calculer et là je te laisse faire.
Bonne continuation

[Inès]

Merci beaucoup.

Et pour calculer 1/2^(n+p) + ... + 1/2^(n+1), je reconnais bien une suite géométrique de raison 1/2.

Mais pour moi cette somme vaut d'après la formule 1/2^p et non 1/2^n comme le dit l'énoncé... Alors où est l'erreur ?

Merci encore.

[sos-math(21)]

Bonjour,
ta somme vaut : $\text{premier terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nbre de termes}}}{1-\text{raison}}=\dfrac{1}{2^{n+1}}\times \dfrac{1-\dfrac{1}{2^p}}{1-\dfrac{1}{2}}=\dfrac{1}{2^n}\times \left(1-\dfrac{1}{2^p}\right)\leqslant \dfrac{1}{2^n}$ : il faut ensuite majorer par 1.
Donc on a bien le résultat.
Bonne continuation

[Inès]

D'accord !

Et je me suis aperçu d'une chose :

Pourquoi aurait-on 1/u(n+p-1) inférieur ou égal à 1/u(n) ?

Si p=0 il y a par exemple un problème, non ?

Merci beaucoup.

[sos-math(21)]

Bonjour,
si $p=0$, tu as un cas particulier trivial : $v_n-v_n=0$ et il n'y a rien à faire, l'encadrement en bien évidemment vrai.
Tout le travail que l'on a fait s'applique avec $p\geqslant 1$.
Ces inégalités sont toujours écrites sous réserve d'avoir du sens car le problème se posera si tu écris l'inégalité suivante et tu auras $p-2$.
Si on commence à dire "et si $p=1$ ? ", on n'en sortira pas : c'est le principe d'une écriture formelle qui permet de montrer des mécanismes en supposant que les conditions d'écritures soient vérifiées.
Bonne continuation

[Inès]

Alors là je ne comprends plus rien, désolée...

Ensuite on écrit bien pour p-2 donc p supérieur ou égal à 2 ?

Mais donc on est plus du tout dans un cas général ?

[Inès]

Et en plus on n'a pas montré que 0 inférieur ou égal à v(n+p)-v(n), n'est-ce pas ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
les inégalités successives qu'on écrit se font de manière formelle, c'est-à-dire sous réserve qu'elles aient du sens.
Donc on raisonne de manière générale en supposant (implicitement) que ces inégalités ont du sens au niveau des indices.
Il y a seulement le cas où $p=0$ qui donne $0\leqslant v_n-v_n (=0)\leqslant \dfrac{1}{2^nu_n}$, ce qui est vrai bien entendu et ne demande pas d'écrire les inégalités en cascade.
Dès qu'on a $p\geqslant 1$, on peut écrire une série de $p$ inégalités en cascade avec simplification des termes.
Bonne continuation