Exercice de spécialité

[sos-math(21)]

donc cela signifie que \(a_{13}=0\) dans ce cas.
Sinon, il faut rajouter un nombre \(a_{13}\) à \(N\) de sorte que l'on passe au multiple suivant \(q+1\) dans la division euclidienne qui aura alors pour reste 0.
Cela se traduira par : \(N+a_{13}=10q+u+a_{13}=\ldots\) et tu auras une condition sur \(a_{13}\)

[Krayz]

donc cela signifie que \(a_{13}=0\) dans ce cas.
Sinon, il faut rajouter un nombre \(a_{13}\) à \(N\) de sorte que l'on passe au multiple suivant \(q+1\) dans la division euclidienne qui aura alors pour reste 0.
Cela se traduira par : \(N+a_{13}=10q+u+a_{13}=\ldots\) et tu auras une condition sur \(a_{13}\)

J'ai compris. Ne reste plus qu'à le rédiger dans le cas général.

On peut donc dire que \(N = 10q + r\) en n'oubliant pas la condition sur le reste. De ce fait, le chiffre des unités de N correspond à \(r\) et \(a_{13} = 10 - r\).

[sos-math(21)]

C'est tout à fait cela, il faut poursuivre le raisonnement et tâcher de bien rédiger.
Bonne continuation

[Krayz]

Ma réponse est incomplète ?

[sos-math(21)]

Ta réponse est correcte mais il faut la rédiger correctement :
Il faut rajouter un nombre \(a_{13}\) tel que \(N+a_{13}\) soit divisible par 10 donc \(N+a_{13}=10q+u+a_{13}=10(q+1)\) car on passe au multiple de 10 suivant donc on a ....
Mais tu peux rédiger autrement.....
Bonne conclusion

[Krayz]

\(N + a_{13} = 10q + u + a_{13}\).
\(= 10(q+1)=10q + 10\).

Donc, \(u + a_{13} = 10\).
Finalement, \(a_{13} = 10 - u\).

\(\fbox{ CQFD}\)

[sos-math(21)]

Cela me paraît tout à fait correct.
Bonne continuation

[Krayz]

Merci de m'avoir répondu.

Concernant la question 3) a), qu'appelle-t-on erreur ?

[sos-math(21)]

Le dernier chiffre du code est rajouté aux 12 premiers pour les contrôler : c'est la clé qui est le nombre à rajouter pour que la somme "spéciale" soit divisible par 10.
Lorsqu'une personne retranscrit le code en le saisissant à la main (par exemple à une caisse de supermarché), il se peut que cette personnes fasse une erreur de retranscription. L'intention de la question 3 est de voir dans quelle mesure le test de divisibilité avec la clé permet de détecter l'erreur.
Bonne continuation

[Krayz]

Merci de m'avoir répondu.

D'après l'énoncé de l'exercice, nous savons qu'un code barre est défini par la propriété ci-dessous :

\(3 \times \sum_{k=1}^{6} a_{2k} + \sum_{k=0}^{6}a_{2k+1}\)

soit \(3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\) qui est divisible par 10.

• - Dans la mesure où un seul des chiffres est erroné, c'est-à-dire dans le cas où on se trompe d'un chiffre cela veut dire que cela modifie le "programme de calcul" défini par la propriété, le code barre ne sera pas divisible par 10.

[sos-math(21)]

Il faudrait aller un peu plus loin dans l'analyse et faire des disjonctions de cas :
- si on remplace un chiffre de rang pair \(a_{2k}\) par une autre valeur \(a(_{2k}\) la somme varie de ... et il faut voir si l'écart obtenu est multiple de 10 ou pas .
Même raisonnement si on remplace un chiffre de rang impair...
Il faut prouver en général que l'écart obtenu sur la somme n'est pas divisible par 10 donc que la nouvelle somme n'est plus divisible par 10 ce qui contredit la propriété vérifiée par la clé.
Comprends-tu mon raisonnement ?

[Krayz]

Merci de m'avoir répondu.

Oui, j'ai compris ce que tu as dit étant donné que j'ai compris la propriété de l'énoncé en elle même.

En fait, il faudrait démontrer que si tous les 12 chiffres du code barre sont bons
sauf 1 chiffre alors la clé de contrôle que l'on calcule avec ces 12 chiffres
est forcément différente de la clé de contrôle que l'on a obtenue avec les 12 chiffres.

Donc oui, si on remplace un chiffre de rang pair par un autre la somme va forcément être différente et si on remplace un chiffre de rang impair par un autre la somme variera également et donc l'ensemble sera différent.

Je comprends la démarche.

[sos-math(21)]

Bonjour,
il faut alors rédiger une démonstration ....
Bon courage

[Krayz]

Bonjour,

Concernant la question 3) a), voici une ébauche de réponse :

Supposons qu'à la place d'avoir un code-barres de la forme suivante :

\(a_1a_2a_3...a_{13}\)

Nous avons cette fois-ci un code-barres de la forme suivante dans lequel nous avons modifié le chiffre \(a_1\) :

\(b_1a_2a_3...a_{13}\) avec \(a_1 \neq b_1\).

L'énoncé, dans la question 3) a), nous indique que l'erreur est détectée par la clé de contrôle si un seul des chiffres a été modifié et est erroné ce qui signifie que les autres chiffres restent identiques.

Pour le premier code-barres : \(3(a_2+a_4+...+a_{12})+(a_1+a_3+...+a_{13})\) est divisible par 10 (code-barres valide).

Pour le deuxième code-barres : \(3(a_2+a_4+...+a_{12})+(b_1+a_3+...+a_{13})\) doit être divisible par 10 pour que le code-barres soit valide mais étant donné que l'on a modifié le chiffre \(b_1\), la différence en valeur absolue entre \(a_1\) et \(b_2\) vaut 2. De ce fait, le code-barres n°2 ne peut pas être divisible par 10 car un multiple de \(10 \pm 2\) n'est pas divisible par 10, la propriété n'est pas vérifiée, le code-barres est invalide.

[Krayz]

entre \(a_1 et b_1\)*