Algorithme sur les suites

[guillaume]

Bonsoir , je vous garantie que j'ai réfléchis d'ailleurs il me reste plus que trois questions a rédigé (dont la dernière je sais comment faire donc plus que deux ou je suis perdu) De plus c'est un exercice non noté mais je veux le faire correctement pour comprendre l'exercice en entier.

Je vais remettre les données de l'énoncé alors :

On considère On considère la suite (Un ) définie par Uo=2 et pour tout entier nature n : Un+1 = (1+0.5Un)/(0.5+Un )
on admet que tous les termes de cette suite sont définis et strictement positifs.

1) on considère l'algorithme suivant :

Entrée Soit un entier naturel non nul n
Initialisation Affecter à u la valeur 2
Traitement et sortie POUR i allant de 1 à n Affecter à u la valeur 1+0.5u/0.5+u Afficher u FIN POUR

Reproduire et compléter le tableau suivant , en faisant fonctionner cet algorithme pour n = 3 . Les valeurs de u seront arrondies au millième.
i 1 2 3
u ... ... ...

Question 1 c'est fait.

2) conjecturer le comportement de la suite (Un) à l'infini .
Question 2 c'est fait
3)On considère la suis( Vn)définie , pour tout entier naturel n , par Vn = Un-1/(Un+1)
A) Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison -(1/3)
C'est fait!
B) Calculer V0 puis écrire Vn en fonction de n
C'est fait.
4A) Montrer que pour tout entier n , on a Vn différent de 1.
J'ai calculé avec l'expression de la question 3 de Vn en fonction de n Pour n = 1 on trouve inférieur à 0
Donc Vn différent de 1. Est ce que cela suffit comme rédaction ou faut 'il faire aussi autre chose ?
4B) Montrer que , pour tout entier naturel n on a Un =( 1+Vn)/(1-Vn)

Pour essayer de répondre a vos questions:
- je comprends pas pourquoi vous dites Vn= 1 donc 1/3*(-1/3)puissance(n)= 1 Est ce une supposition? Faut'il montrer cela ? Doit- on faire une récurrence ?
-Pour la 4B: Je ne vois comment on peut déduire l'expression de Un en fonction de Vn. En réfléchissant je me suis dis en essayer de tout mettre de l'autre côté pour n'avoir que Un.

Merci

[sos-math(22)]

Bonsoir,

Tu sais que \(v_n=\frac{1}{3}\times (-\frac{1}{3})^n\).

Par conséquent, \(v_n=1 \Leftrightarrow \frac{1}{3}\times (-\frac{1}{3})^n=1\).

Ce qui clairement impossible.

Ensuite :

\(v_{n}=\frac{u_{n}-1}{u_{n}+1}\Leftrightarrow v_{n}\left( u_{n}+1\right) =u_{n}-1\Leftrightarrow u_{n}v_{n}+v_{n}=u_{n}-1\Leftrightarrow u_{n}v_{n}-u_{n}=-v_{n}-1\)
\(\Leftrightarrow u_{n}\left( v_{n}-1\right) =-v_{n}-1\Leftrightarrow u_{n}=\frac{-v_{n}-1}{v_{n}-1}\Leftrightarrow u_{n}=\frac{1+v_{n}}{1-v_{n}}\)

Est-ce plus clair ?

Bonne continuation.

[guillaume]

Super merci maintenant ça coule de source j'ai compris j’espère que cela sera acquis pour toutes les questions du même type .

Bonne soirée .

[sos-math(22)]

Merci, bonne soirée à toi également.
Je clôture le sujet.
Bonne continuation.