Calcul

[SoS-Math(25)]

Pour \(\phi(0)\) tu dois reconnaitre la dérivée d'une fonction connue.

Pour la limite en +l'infini, comme tu intègres sur un segment, une majoration de \(e^{-x(1+t^2)}\) par un \(\epsilon\) très proche de 0 lorsque \(x\) est très grand ou simplement par \(e^{-x}\) devrait te conduire au résultat. Sinon, tu as peut-être des théorèmes d'interversion limite/Intégrale dans ton cours.

Bon courage

[Nathan]

Bonjour,

Merci pour votre réponse.

Voici en pièce jointe la fin du Devoir.

Je suis toujours bloqué à la 3.b...

J'ai aussi essayé la 4, en faisant des calculs qui partent dans plusieurs directions, mais cela n'a pas abouti...

Comment faire ?

Merci infiniment pour l'aide.

[SoS-Math(31)]

Bonjour Nathan,
a) Connais tu la dérivée d'arctan ?
b) SOS-math( 25) te propose de majorer l'exponentielle. En effet 1 + t² est toujours positif et x positif ( voir borne de l'intégrale) donc - x (1+t²) est négatif. On en déduit que l'exponentielle dans l'expression est comprise entre 0 (une exponentielle toujours positive) et 1. d'où la fonction à intégrer est entre 0 et 1/ (1+t²).

[SoS-Math(31)]

4) a) phi, les carrés, l'intégrale sont dérivables donc les composées aussi.
Ensuite utilises les dérivées de composées pour trouver une expression avec des intégrales de la forme demandée dans la question c).

[Nathan]

Bonjour,

Merci beaucoup pour votre réponse.

Oui, je connais la dérivée de arctan, mais comment cela pourrait-il aider ?

Je cherche encore la 4.a...

J'ai aussi cherchèrent cet après-midi la 4.b, mais sans succès malheureusement... Avez-vous une proposition ?

Merci encore.

[Nathan]

Bonsoir,

Je résume là où j'en suis dans ce devoir.

1. OK.

2.a) OK.

b) Là j'ai essayé de suivre vos conseils...

J'en suis ici : \(\large\varphi (x+h) - \varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{e^{h(1+t^{2})}(1+t^{2})}} - \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}+\int_{0}^{1}{\frac{h*e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\)

A partir de là je suis bloqué, j'ai bien vu que l'on doit faire apparaître \(\large\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{h}-1-h)dt}\), mais même en factorisant, en mettant sur le même dénominateur la ligne de calcul juste au-dessus, je ne trouve rien... Comment faire ? Et ensuite, comment utiliser le résultat de la question 1 pour montrer l'inégalité demandée lorsque j'ai \(\large\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{h}-1-h)dt}\) ?

c.En divisant l'inégalité de 2.b, par h, on obtient :
\(\large\frac{\varphi (x+h)-\varphi (x)}{h} - \int_{0}^{1}{-e^{-x(1+t^{2})}dt} \leq |h|*\frac{e}{2}\int_{0}^{1}{(1+t^{2})*e^{-x(1+t^{2})}dt}\)
Puis on passe à la limite lorsque h tend vers 0.

Alors le terme de droite tend vers 0- si h tend vers 0-, et tend vers 0+ si h tend vers 0+. Ensuite, je sens que je suis proche du but, mais je ne sais pas comment manipuler la valeur absolue, cela me perturbe... Comment faire ?

3. a. J'ai simplement remplacé x par 0 dans l'expression de phi(x) donnée à la question 1. J'obtiens : phi(x)=arctan(1)-arctan(0)=pi/4. Est-ce correct ?

b. Là je ne trouve pas... OK, la fonction à intégrer est entre 0 et 1/ (1+t²), mais en quoi cela permet de répondre à la question ? Comment continuer une fois que l'on dit ça pour trouver la limite ?

4. a. Il faut effectivement dériver des composées, mais comment dériver les intégrales ?
Cela me paraît évident mais j'ai un doute sur les hypothèses et sur la formule exacte...

b. J'ai essayé avec un changement de variable, mais sans succès...

c. Pas réussie...

5. Pas réussie non plus...

Ce devoir est à rendre vendredi, j'ai vraiment besoin d'aide, j'ai mis beaucoup de temps à écrire ce message, si vous pouviez m'aider à terminer ce devoir, ce serait formidable ! Merci beaucoup.

[Nathan]

Bonjour,

Avez-vous reçu mes derniers messages ?

Notre professeur a donné un délai supplémentaire d'un jour, c'est donc pour demain !

Comment faire pour la 2.b ? C'est la seule question non réussie...

Merci beaucoup encore pour l'aide.

[SoS-Math(25)]

Bonjour Nathan,

Pour la 2b :

J'en suis ici : \(\large\varphi (x+h) - \varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{e^{h(1+t^{2})}(1+t^{2})}} - \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}+\int_{0}^{1}{\frac{h*e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\)

A partir de là je suis bloqué, j'ai bien vu que l'on doit faire apparaître \(\large\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{h}-1-h)dt}\)

\(\large\varphi (x+h) - \varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt}=\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}e^{-h(1+t^{2})}}{(1+t^{2})}} - \int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}+\int_{0}^{1}{\frac{(1+t^2)h*e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}}\)

(Laisse le \(e^{-h(1+t^{2})}\) au numérateur et n'oublie pas de multiplier aussi le numérateur de la troisième par \((1+t^2)\))

Ensuite, linéarité de l'intégrale et factorisation, tu dois trouver \(u\) tel que :

\(\large\varphi (x+h) - \varphi (x) + \int_{0}^{1}{h*e^{-x(1+t^{2})}dt} = \large\int_{0}^{1}{\frac{e^{-x(1+t^{2})}}{1+t^{2}}*(e^{u}-1-u)dt}\)

Tu y es presque,

Bon courage