DM de maths

[SoS-Math(34)]

Bonjour Morgane,

Pour faire simple, la méthode de Newton consiste à créer une suite (Xn) particulière dont la limite α est la solution dans un intervalle donné de l'équation f(x) = 0. (il y a certaines conditions d'application, notamment sur la fonction f...mais ce n'est pas l'objet de cette explication). Autrement dit, les termes Xn de la suite sont des valeurs approchées successives de α.
La question est de savoir quel terme de la suite prendre pour être "suffisamment proche" de α: c'est la question de la précision ε de l'approximation.

C'est exactement la méthode de Newton que tu as mise en place ici dans l'exercice en créant la suite (Xn) définie par Xo = 2 et la relation de récurrence Xn+1 = g(Xn) = Xn - f(Xn) : f '(Xn).

Je ne comprends pas exactement ce qui est attendu dans ton énoncé ("On traitera en module l’algorithme permettant de réaliser des approximations des solutions d’une équation numérique avec une précision choisie en utilisant la méthode de Newton.") Ne serait-il pas par hasard question que tu le fasses en classe?

Si ce n'est pas le cas, je pense qu'il s'agit d'écrire un algorithme dont l'entrée est le réel positif ε (précision que tu veux obtenir pour l'approximation de ta solution α).
Cette erreur est ε(n) = Xn -α où α est la racine cubique de 2 (que tu peux obtenir avec une grande précision à la calculatrice : 2^(1/3)).
Donc en entrée d'algorithme, l'utilisateur choisit ε
Tant que Xn - α > ε, la précision demandée ε n'est pas satisfaite, donc le terme Xn ne convient pas et on essaie le terme suivant Xn+1 et on regarde si Xn+1 - α > ε et ainsi de suite jusqu'à l'entier Nε tel que XNε - α soit inférieur ou égal à ε.
en sortie, on attend alors la valeur de XNε qui est une valeur approchée de racine cubique de 2 avec une précision de ε.

A toi de mettre en place cet algorithme : commence déjà par bien regarder la relation de récurrence de ta suite

Bonne recherche,
Sosmaths

PS: relis attentivement mon message plusieurs fois...

[Morgane]

D’accord merci beaucoup !
Sinon pour la 3. e) je peux procéder par récurrence aussi ?

[SoS-Math(9)]

Bonjour Morgane,

Non, pour le 3e) il faut utiliser les variations de g pour encadrer g(t) sur [\(\alpha\);2].

SoSMath.

[Morgane]

Bonjour, comment fait on pour trouver g(t) < t ?

[SoS-Math(9)]

Morgane,

il faut utiliser : g(t) = t - f(t)/f'(t) <=> g(t) - t = - f(t)/f'(t)
Ensuite trouve le signe de - f(t)/f'(t) (en principe il doit être négatif ....)

SoSMath.

[Morgane]

Merci beaucoup !

[SoS-Math(9)]

Bon courage Morgane.

SoSMath.