Devoir maison

[Dylan]

Cette fois-ci, je pense que c'est bon.
Qu'en pensez-vous ?

Merci de votre aide !

[sos-math(21)]

Bonjour,
on se rapproche mais il y a encore une approximation : tu as \(\dfrac{e^{-x}}{x}\times \dfrac{1}{2\left(1-\frac{1}{x}\right)}\) donc il faut calculer la limite de \(\dfrac{1}{2\left(1-\frac{1}{x}\right)}\) qui est égale à \(\dfrac{1}{2}\) lorsque \(x\to -\infty\).
Bonne correction

[Dylan]

Bonjour,

Cette fois-ci je pense que c'est bon ...

[sos-math(21)]

Tu as modifié certaines choses mais pas forcément en totalité car je vois
\(\lim_{x\to-\infty}2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{1}{2}\) or ce dénominateur \(2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)\) tend vers 2, donc le quotient \(\dfrac{1}{2\left(1-\dfrac{1}{x}\right)}\) tend vers \(\dfrac{1}{2}\).
Reprends cela en relisant complètement chacune de tes lignes de calcul pour voir si tes modifications successives donnent toujours sens.
Bonne continuation

[Dylan]

Est-ce bon ?

[sos-math(21)]

Bonjour,
cette fois, c'est bon. Juste une dernière remarque pour l'asymptote verticale : on dit que la courbe admet une asymptote verticale en 1 (d'équation \(x=1\) mais il n'est nécessaire de préciser la limite (\(-\infty\) ou \(+\infty\)).
Bonne rédaction

[Dylan]

Bonjour,

J'ai avancé dans l'exercice mais j'ai un petit problème.
Pour l'étude la fonction fonction je ne trouve pas les bonnes variations car sur l'intervalle −∞ 1 la fonction est décroissante puis " un peu croissante". Je ne trouve pas mon erreur.
De plus, la réponse à la question 3 est-elle satisfaisante ?

Merci de votre aide.
A bientôt

[sos-math(21)]

Bonjour,
si ta fonction est \(f(x)=\dfrac{e^{-x}}{-2x+2}\) alors ta dérivée est donc \(f'(x)=\dfrac{-e^{-x}\times (-2x+2)-e^{-x}\times (-2)}{(-2x+2)^2}\) donc en développant, tu as des simplifications \(-e^{-x}\times (-2x+2)-e^{-x}\times (-2)=2xe^{-x}-2e^{-x}+2e^{-x}=2xe^{-x}\) qui change de signe en 0, étant négatif avant 0, et positif après (signe de \(x\)). IL faut donc revoir ton tableau de variation qui doit comporter 3 variations (à cause de la valeur interdite).
Pour la question précédente, si on doit étudier la position relative d'une droite (représentant une fonction affine \(f(x)=ax+b\)) et d'une courbe, il faut effectivement étudier le signe de \(f(x)-(ax+b)\). Dans les questions précédentes, tu as dû avoir une expression sympathique de la forme \(f(x)=ax+b+g(x)\)
tu auras donc \(f(x)-(ax+b)=g(x)\) donc cela revient à étudier le signe de \(g(x)\).
Si tu veux que je sois plus précis, il faut me renvoyer l'énoncé complet.
Bonne continuation

[Dylan]

Je vous renvoie l'énoncé car je ne ne comprends pas pour les questions 3 et 4 par rapport à ce que j'ai fait avant ..

[sos-math(21)]

Bonjour,
la droite \(\Delta\) est l'axe des abscisses, donc étudier la position de \(\mathscr{C}_f\) et \(\Delta\) revient à étudier le signe de \(f(x)\).
Comme \(e^{-x}>0\) et \(2>0\) le signe de \(f(x)=\dfrac{e^{-x}}{2(1-x)}\) est donné par le signe de \(1-x\) : cela ne doit pas être trop compliqué et cela doit correspondre à ce que tu avais dit mais il faut l'obtenir par un calcul (un tableau de signes).
Pour les variations, il faut reprendre ce que j'ai dit : dans ton tableau tu as la valeur 0 qui annule le numérateur de ta dérivée et la valeur 1 qui est la valeur interdite. Il reste ensuite à étudier le signe du numérateur de \(f'(x)\), soit \(2xe^{-x}\).
Bon courage

[Dylan]

Bonsoir

Est ce bon ?

[SoS-Math(34)]

Bonjour Dylan,

Je ne vois pas parfaitement ce qui est écrit, même en téléchargeant l'image, mais il me semble que cela est correct.
N'oublie pas cependant comme te l'a dit mon collègue que 1 est valeur interdite aussi pour f '.
Il te faut donc ajouter la "double barre" pour 1 dans la ligne de f'(x).

Bonne continuation
Sos-maths

[Dylan]

Bonsoir,

J'ai continué mon exercice jusqu'à la dernière question, cependant je ne vois pas comment répondre à celle-ci.
De plus, si vous pourriez me dire si mes réponses précédentes sont correctes.

Merci de votre aide.
A bientôt !

[sos-math(21)]

Bonjour,
Le tableau de variation semble correct
pour bien faire le lien au niveau du théorème des valeurs intermédiaires, je propose comme rédaction :

La fonction f est continue, strictement croissante de l'intervalle \(]-\infty\,;\,0]\) vers l'intervalle \([0,5\,;\,+\infty[\). Or \(1\in[0,5\,;\,+\infty[\), donc d'après le théorème de la valeur intermédiaire, l'équation \(f(x)=1\) admet une unique solution dans l'intervalle \(]-\infty\,;\,0] \).
Mais tu fais comme tu veux en fonction de ce que ton professeur t'a appris.
Pour la dernière question, il faut exploiter le fait que \(f(a)=1\) et \(f(b)=1\), cela signifie que \(\dfrac{e^{-a}}{2(1-a)}=1=\dfrac{e^{-b}}{2(1-b)}\)
Tu peux simplifier par deux les deux fractions égales et il te reste : \(\dfrac{e^{-a}}{(1-a)}=\dfrac{e^{-b}}{(1-b)}\)
Tu peux ensuite utiliser l'égalité des produits en croix...
Je te laisse chercher un peu,
Bonne continuation

[Dylan]

Bonsoir,

Suite à vos remarques, j'ai essayé de continuer mais je n'ai pas trouvé la réponse attendue ...
Où est mon erreur ?

Merci d'avance !
A bientôt !