Droite d'Euler dans le triangle

[Manon]

Bonjour à tous, je suis en PESS et notre professeur de mathématiques nous a donné un DM pour la rentrée concernant la Droite d'Euler dans le triangle, j'ai vu plusieurs topics concernant ce sujet, cependant soit je n'ai pas compris, soit je n'ai pas été capable de reproduire avec les explications les réponses adaptées à mon sujet, alors le voici en espérant que vous puissiez m'aider :
Dans un repère orthonormé (O; I; J) on considère les points : A (0;3) B(-2;1) et C(2;1):

1) L'Orthocentre H :

a) Déterminer les équations des hauteurs issues de A et de B du triangle ABC.
b) En déduire par le calcul, les coordonnées du point d'intersection de ces deux hauteurs. On appellera ce point H.
c) Vérifier que la hauteur issue de C passe également par H. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on? (H est appelé l'Orthocentre)

2) Centre de gravité, ou isobarycentre G :

a) Déterminer les coordonnées des points I, J et K, milieux respectifs des côtés [BC], [AC] et [AB] (I est associé au sommet A, J au sommet B et K au sommet C).
b) Déterminer les équations des médianes issues de A et de B du triangle ABC.
c) En déduire les coordonnées du point d'intersection de ces deuc médianes. On appelera ce point, G.
d) Vérifier que la médiane issue de C passe également par G. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on ? (G est appelé centre de gravité du triangle ou isobarycentre des points A,B et C)

3) Centre du cercle circonscrit Ω :

a) Déterminer les équations des médiatrices des segments [AB] et [BC].
b) En déduire les coordonées du point d'intersection de ces deux médiatrices. On appelera ce point, Ω.
c) Vérifier que la médiatrice de [AC] passe par Ω.
d) Justifier par un raisonnement purement géométrique que le point Ω d'intersection des médiatrices, est bien le centre du cercle passant par les points A, B et C, et que ce cercle est unique.
e) En déduire l'équation canonique puis cartésienne de ce cercle.
f) Montrer que dans ce cas particulier, le triangle ABC est isocèle en B (deux méthodes possibles)

4) Propriétés des points H, G et Ω :

a) Quel est le coefficient de proportionnalité entre les vecteurs AG et GI, entre les vecteurs BG et GJ et entre les vecteurs CG et GK ? Justifier par un calcul. Quelle propriété du triangle retrouve-t-on ?
b) Montrer que les points H, G et Ω sont alignés.
c) Quel est le coefficient de proportionnalité entre les vecteurs HG et HΩ ?


Voilà voilà, à titre indicatif cela n'est même pas 1/5 de la totalité du DM, sachant que j'ai de très grosses difficultées en maths et que je n'en ai pas fait depuis 2 ans, merci beaucoup d'être indulgent.
Je vous mets ici mes quelques tentatives désespérées de répondre à la 1) a) :

AI (0; -3) BC (4;0) BM (x+2;y-1) CA (-2;2)

vecteur AI : hauteur issue de A, son équation est de la forme :
vecteur AI.vecteur BC= 0 ⇔ (-2)*(4)+(-3)*0 = 0

vecteur BM : hauteir issue de B, son équation est de la forme :
vecteur BM. vecteur CA = 0⇔ (x+2)*(-2)+(y-1)*2 = 0

A vrai dire si j'ai fais ces essais c'est grâce à un autre topic cependant j'avoue ne pas trop savoir comment faire que ces équations ressemble à des équations de droites (ou du moins de hauteur) du style y = ax+b
Merci d'avance de votre aide !

Voici la partie 2 de l'énoncé :

Partie B - Etude du cas général

Soient 3 points distincts A, B et C du plan et I, J et K les milieux respectifs des segments [BC], [AC] et [AB]:

1) Caractérisation vectorielle de G isobarycentre du triangle ABC :

En introduisant le point I par la relation de Chasles dans les vecteurs GB et GC, montrer que le point G isobaycentre des points A, B et C, vérifie la relation : GA+ GB+ GC = 0, relation (1) (on rappelle que dans un triangle, les médianes se coupent en leur tiers...).
Justifier que le point G est bien l'intersection des médianes du triangle ABC.

2) Caractérisation vectorielle de H orthocentre du triangle ABC.

a) Soit Ω le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. En introduisant le point I milieu de [BC] montrer que le point M définit par : (vecteurs) ΩM = ΩA + ΩB + ΩC appartient à la hauteur issue de A du triangle ABC (on remarquera que (vecteurs)ΩM - ΩA = AM).

b) Montrer, par un raisonnement analogue, que le point M ainsi défini, appartient aussi à la hauteur issue de B et de C. En déduire que le point M est l'orthocentre que l'on nommera H, du triangle ABC et vérifie la relation : (vecteurs)ΩH = ΩA + ΩB + ΩC, relation (2).

c) Des relation (1) et (2), en déduire que les points H, Ω et G sont alignés et que ΩH = 3ΩG

[SoS-Math(30)]

Bonsoir Manon,

Peux-tu expliciter le sigle PESS pour mieux cerner ta filière ?
En ce qui concerne la première question sur les équations des hauteurs, je te rappelle d'abord la définition d'une hauteur dans un triangle : il s'agit d'une droite passant par un sommet et perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Par exemple, la hauteur issue de A est la droite qui passe par A et qui est perpendiculaire à (BC). Cela ne correspond donc pas à la droite (AI) par rapport à la figure que tu as jointe à ton message, mais plutôt à (AH).
Pour trouver l'équation de cette droite, on va utiliser la définition ci-dessus qui la caractérise : la hauteur issue de A est l'ensemble des points M(x;y) tels que (AM) et (BC) sont perpendiculaires.
On traduit cela à l'aide des vecteurs : la hauteur issue de A est l'ensemble des points M(x;y) tels que les vecteurs \(\overrightarrow{AM}\) et \(\overrightarrow{BC}\) sont orthogonaux.
Ce qui donne à l'aide du produit scalaire : la hauteur issue de A est l'ensemble des points M(x;y) tels que \(\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BC}=0\).

Je te laisse poursuivre en calculant ce dernier produit scalaire.

SoSMath