Exercice Suite/Fonction

[SoS-Math(33)]

Il te faut écrire :
Supposons que pour tout p>1 (et pas p>0)

Ensuite il te faut aussi écrire
\(U_{p+1}=f(U_p)\) hors \(f\) est croissant sur \([\sqrt{2} ; +\infty[\) donc \(U_{p+1} > U_p\)
et donc \(U_{p+1} > \sqrt{2}\)
et pas \(U_p\leq U_{p+1}\) \(f(Up) \leq f(U{p+1})\) tu fais sur p+2

[Jean]

J'ai fini ma récurrence (enfin je l'espère)

J'ai fait la question 2)b) mais je suis de nouveau bloqué ...
Voici mon début de raisonnement

[SoS-Math(33)]

Si tu poses \(h(x) = x - f(x)\) alors \(h'(x) = 1 - f'(x)\) tu as fais une erreur.
Sinon ce que tu fais est la bonne solution, tu calcule la dérivée pour avoir le sens de variation de \(h(x)\)
Je te laisse corriger ton erreur et poursuivre les calculs.

[Jean]

Suite à vos remarques j'ai trouvé que h(x) est croissant mais comment répondre à la question 2)b) ?

[SoS-Math(33)]

Oui c'est ça h(x) est croissant .
Maintenant il te faut regarder la valeur de h(x) pour x = \(\sqrt{2}\) et ainsi tu auras pour \(x \in [\sqrt{2} ; +\infty[\) : \(h(x) \geq h(\sqrt{2})\) et tu pourras en déduire le signe de \(x-f(x)\)
A toi de faire les calculs maintenant.

[Jean]

Je pense avoir fini a question mais j'ai l'impression d'avoir brûlé des étapes dans ma rédaction ...

[SoS-Math(9)]

Bonjour Jean,

Cela me semble correct ... sauf pour ta dérivée ! il y a une petite erreur de calcul (qui ne change pas ton résultat !) :
\(h'(x)=1-\frac{0,5x^2-1}{x^2}=\frac{x^2}{x^2}-\frac{0,5x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-(0,5x^2-1)}{x^2}=\frac{0,5x^2+1}{x^2}\) et non \(\frac{1,5x^2+1}{x^2}\).

SoSMath.

[Jean]

Bonsoir,

J'ai continué mes réponses jusqu'à la question 2)d). Cependant je ne vois pas du tout comment répondre à la question 3.

De plus mes réponses sont-elles correctes pour la question 2)c) et 2)d) ?

Merci de votre aide.

[SoS-Math(9)]

Jean,

c'est bien pour les questions 2c et d.

Pour la question 3, il faut utiliser un théorème qui dit que si on a \(u_{n+1}=f(u_n)\) et \((u_n)\) qui converge vers \(l\), alors \(l\) vérifient l'équation \(f(x)=x\).

SoSMath.

[Jean]

Est-ce le théorème de comparaison ? Mais je ne vois pas comment l'appliquer !

[SoS-Math(9)]

Non ce n'est pas un théorème de comparaison ....
Si on a \(\lim_{n \to +\infty} u_{n} = l\) et \(f\) une fonction continue sur un intervalle I contenant \(l\),
alors on a \(\lim_{n \to +\infty} f(u_{n}) = f(l)\) soit \(\lim_{n \to +\infty} u_{n+1} = f(l)\).
Mais on sait que la limite est unique d'où le résultat \(f(l)=l\).

SoSMath.

[Jean]

J'ai continué la question mais je suis bloqué ...

[SoS-Math(25)]

Bonsoir Jean,

Je n'ai pas lu tout le sujet mais tu as :

\(2\times l = l+\dfrac{2}{l}\)

En supposant que \(l\neq 0\)

en multipliant par l de chaque côté, tu obtiendras une équation du second degré...

Bon courage

[Jean]

Bonsoir,

Après vos remarques je trouve l = racine de 2. Est ce correct ?

[SoS-Math(9)]

Bonsoir Jean,

Cela semble correct ... mais \(l^2=2\) a deux solutions \(l=\sqrt{2}\) ou \(l=-\sqrt{2}\)

SoSMath.