bonjour,
Ce vocabulaire m'est incompréhensible,....majorant,minorant, à quoi sa sert,et surtout à quelle fin ?
j'ai pris deux fonctions en exemple toutes les deux définis .
\(f\left( x \right) =\frac { 1 }{ x } -\sqrt { x }\)
\(g\left( x \right) =x-{ x }^{ 2 }\)
merci pour vôtre aide
fonction
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SoS-Math(30)
- Messages : 585
- Enregistré le : lun. 12 oct. 2015 10:32
Re: fonction
Bonsoir,
Tu as sans doute entendu l'expression "untel est major de sa promotion (ou de sa classe)".
Cela signifie que ses résultats sont supérieurs à ceux de tout le reste de sa classe.
Dans le cadre des fonctions, si un nombre est un majorant pour une fonction, cela signifie qu'il est supérieur à toutes les images de la fonction.
Autrement dit, M est un majorant de f si pour tout réel \(x\) appartenant au domaine de définition de f, on a \(f(x)\leq M\).
Définition analogue pour un minorant avec l'inégalité contraire.
Attention, un majorant ou un minorant n'est pas nécessairement une image de la fonction contrairement aux maximum et minimum.
Cela peut être utile selon le problème posé.
Par exemple, si l'on trouve qu'une fonction a un minorant positif, par exemple 2 alors cela signifiera que la fonction prend uniquement des valeurs strictement positives ce qui peut être utile à savoir, si par exemple on veut lui appliquer la fonction racine carrée.
En ce qui concerne tes exemples, pour la fonction f définie sur les réels strictement positifs, tu peux montrer à l'aide d'un tableau de variations complet qu'il ne peut y avoir de majorant ni de minorant.
Pour la fonction g, tu dois savoir depuis la seconde que g admet un maximum. Ainsi, tout réel supérieur ou égal au maximum est un majorant.
SoSMath
Tu as sans doute entendu l'expression "untel est major de sa promotion (ou de sa classe)".
Cela signifie que ses résultats sont supérieurs à ceux de tout le reste de sa classe.
Dans le cadre des fonctions, si un nombre est un majorant pour une fonction, cela signifie qu'il est supérieur à toutes les images de la fonction.
Autrement dit, M est un majorant de f si pour tout réel \(x\) appartenant au domaine de définition de f, on a \(f(x)\leq M\).
Définition analogue pour un minorant avec l'inégalité contraire.
Attention, un majorant ou un minorant n'est pas nécessairement une image de la fonction contrairement aux maximum et minimum.
Cela peut être utile selon le problème posé.
Par exemple, si l'on trouve qu'une fonction a un minorant positif, par exemple 2 alors cela signifiera que la fonction prend uniquement des valeurs strictement positives ce qui peut être utile à savoir, si par exemple on veut lui appliquer la fonction racine carrée.
En ce qui concerne tes exemples, pour la fonction f définie sur les réels strictement positifs, tu peux montrer à l'aide d'un tableau de variations complet qu'il ne peut y avoir de majorant ni de minorant.
Pour la fonction g, tu dois savoir depuis la seconde que g admet un maximum. Ainsi, tout réel supérieur ou égal au maximum est un majorant.
SoSMath
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nat
Re: fonction
Bonjour , maths 30
ah oui je vois a peu près ,,je fais une confusion quelque part...
j 'ai fais assez rapidement l' étude du deuxième exemple,
\(g\left( x \right) =x-{ x }^{ 2 }\\\) définis sur \(\mathbb{R}\)
\(\\ g\left( x \right) \le g\left( -\frac { b }{ 2a } \right) \\\)
\(\\ g\left( x \right) \le \frac { 1 }{ 4 }\)
donc les images sont \(]-\infty ,\frac { 1 }{ 4 }]\),le maximum de \(f\) c'est \(\frac { 1 }{ 4 }\)
"g admet un maximum. Ainsi, tout réel supérieur ou égal au maximum est un majorant."
"\(M\) est un majorant de \(f\) si pour tout réel \(x\) appartenant au domaine de définition de f"
ça veut dire qu 'on à un intervalle de majorants sur le simple fait qu'on ai trouvé un maximum?
cet intervalle de majorant serait incrusté dans l'ensemble de définition?
\([\frac { 1 }{ 4 },\infty[\) dans \(Df\) j ai pris la valeur du maximum en \(y\)
\([\frac { 1 }{ 2 },\infty[\) dans \(Df\) j'ai pris la valeur du maximum en \(x\)
je doute à ce niveau là ,laquelle est juste?
2ème point
on peut très bien minorer cette fonction par o en exemple , à partir du moment qu'on reste dans l'intervalle image.
merci pour vôtre aide,
ah oui je vois a peu près ,,je fais une confusion quelque part...
j 'ai fais assez rapidement l' étude du deuxième exemple,
\(g\left( x \right) =x-{ x }^{ 2 }\\\) définis sur \(\mathbb{R}\)
\(\\ g\left( x \right) \le g\left( -\frac { b }{ 2a } \right) \\\)
\(\\ g\left( x \right) \le \frac { 1 }{ 4 }\)
donc les images sont \(]-\infty ,\frac { 1 }{ 4 }]\),le maximum de \(f\) c'est \(\frac { 1 }{ 4 }\)
"g admet un maximum. Ainsi, tout réel supérieur ou égal au maximum est un majorant."
"\(M\) est un majorant de \(f\) si pour tout réel \(x\) appartenant au domaine de définition de f"
ça veut dire qu 'on à un intervalle de majorants sur le simple fait qu'on ai trouvé un maximum?
cet intervalle de majorant serait incrusté dans l'ensemble de définition?
\([\frac { 1 }{ 4 },\infty[\) dans \(Df\) j ai pris la valeur du maximum en \(y\)
\([\frac { 1 }{ 2 },\infty[\) dans \(Df\) j'ai pris la valeur du maximum en \(x\)
je doute à ce niveau là ,laquelle est juste?
2ème point
on peut très bien minorer cette fonction par o en exemple , à partir du moment qu'on reste dans l'intervalle image.
merci pour vôtre aide,
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: fonction
Bonjour,
Je ne comprends pas bien ce que tu essayes de dire par :
Maintenant, pour répondre à ta deuxième question, le minimum de \(g\) est 0 sur l'intervalle \([0;1]\). Autrement dit, tout nombre négatif (0 compris donc) est un minorant de \(g\) sur \([0;1]\).
J'espère avoir t'aider.
A bientôt
Je ne comprends pas bien ce que tu essayes de dire par :
Effectivement, tout nombre de l'intervalle \([\dfrac{1}{4};+\infty[\) sera un majorant de \(g\) car \(\dfrac{1}{4}\) est le maximum.nat a écrit :
ça veut dire qu 'on à un intervalle de majorants sur le simple fait qu'on ai trouvé un maximum?
cet intervalle de majorant serait incrusté dans l'ensemble de définition?
\([\frac { 1 }{ 4 },\infty[\) dans \(Df\) j ai pris la valeur du maximum en \(y\)
\([\frac { 1 }{ 2 },\infty[\) dans \(Df\) j'ai pris la valeur du maximum en \(x\)
Maintenant, pour répondre à ta deuxième question, le minimum de \(g\) est 0 sur l'intervalle \([0;1]\). Autrement dit, tout nombre négatif (0 compris donc) est un minorant de \(g\) sur \([0;1]\).
J'espère avoir t'aider.
A bientôt
-
nat
Re: fonction
ah oui .
Ce que j'essaie de comprendre:
Si on a un certains nombre de majorants qui sont dans l'intervalle image.On lès a aussi sur\(Df\) puisque la fonction prends ses valeurs dans cet ensemble? dans l 'exemple sa serait \([\frac { 1 }{ 4 } -\infty [\) à l'intérieur de\(\mathbb{R}\)
On peut fabriquer un ensemble M qui est contenu dans \(Df\) qui sont les majorants de\(f\)
enfin je me suis posée cette question,
merci maths 25
Ce que j'essaie de comprendre:
Si on a un certains nombre de majorants qui sont dans l'intervalle image.On lès a aussi sur\(Df\) puisque la fonction prends ses valeurs dans cet ensemble? dans l 'exemple sa serait \([\frac { 1 }{ 4 } -\infty [\) à l'intérieur de\(\mathbb{R}\)
On peut fabriquer un ensemble M qui est contenu dans \(Df\) qui sont les majorants de\(f\)
enfin je me suis posée cette question,
merci maths 25
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SoS-Math(25)
- Messages : 1867
- Enregistré le : mer. 2 nov. 2011 09:39
Re: fonction
\(Df\) est l'ensemble de définition de \(f\). Les majorants de \(f\) ne sont pas à prendre dans \(Df\). Il ne faut pas confondre les deux.nat a écrit :
On peut fabriquer un ensemble M qui est contenu dans \(Df\) qui sont les majorants de\(f\)
merci maths 25
Si \(g(x)=x-x^2\) alors on peut définir \(g\) sur \(]-\infty;+\infty[\) et les majorants de \(g\) sont tous les nombres M tels que \(M\geq\dfrac{1}{4}\).
A bientôt
-
nat
Re: fonction
merci maths 25
j ai compris mon erreur ,ma confusion .
c est clair maintenant
j ai compris mon erreur ,ma confusion .
c est clair maintenant